NOM - Mois de naissance

Comme d’habitude : remplacer $m$ par le numéro de votre mois de
naissance.

Fonction $f$
============

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = 2 x^3 - x^2 - 2 m x + m$

1.  Obtenir la représentation graphique de $f$ à l’aide d’un logiciel
    (ou de la calculatrice). INUTILE de m’envoyer une copie d’écran !

    À l’aide d’une lecture graphique, avec la précision permise par
    votre logiciel, construire le tableau de variations de $f$ sur
    $\mathbb{R}$ (préciser les valeurs extrèmes, ne pas oublier la ligne
    signe de la dérivée . aide : livre p. 112 / la page Markdown de mon
    site pour un exemple de tableau de variations.)

    $\begin{array}{|l|lcccccr|}
        \hline
        x & -\infty & &  & &  & &+\infty \\\hline
        \text{signe de } f'(x) 
            & & &  &  & & & \\\hline
            &  & &  & & & & \\
        \text{variations de } f 
            &  &  & &  & &  & \\
            &  &   &  & &  &  &  \\\hline
        \end{array}$

2.  Donner l’expression de la fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$
    (Vous devez obtenir une fonction du second degré ; aide : livre p.
    109).

3.  Étudier le signe de $f'$.


4.  En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ avec les
    valeurs exactes.

    $\begin{array}{|l|lcccccr|}
        \hline
        x & -\infty & &  & &  & &+\infty \\\hline
        \text{signe de } f'(x) 
            & & &  &  & & & \\\hline
            &  & &  & & & & \\
        \text{variations de } f 
            &  &  & &  & &  & \\
            &  &   &  & &  &  &  \\\hline
        \end{array}$


Fonction $g$
============

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = 2 x^3 - x^2 + 2 m x + m$

1.  Obtenir la représentation graphique de $g$ à l’aide d’un logiciel
    (ou de la calculatrice). INUTILE de m’envoyer une copie d’écran !

    À l’aide d’une lecture graphique, avec la précision permise par
    votre logiciel, construire le tableau de variations de $g$ sur
    $\mathbb{R}$ (préciser les valeurs extrèmes, ne pas oublier la ligne
    signe de la dérivée . aide : livre p. 112)

    $\begin{array}{|l|lcccccr|}
        \hline
        x & -\infty & &  & &  & &+\infty \\\hline
        \text{signe de } g'(x) 
            & & &  &  & & & \\\hline
            &  & &  & & & & \\
        \text{variations de } g 
            &  &  & &  & &  & \\
            &  &   &  & &  &  &  \\\hline
        \end{array}$

2.  Donner l’expression de la fonction $g'$, dérivée de la fonction $g$
    (Vous devez obtenir une fonction du second degré ; aide : livre p.
    109).

3.  Étudier le signe de $g'$.

4.  En déduire les variations de la fonction $g$ (répondre par une
    phrase, pas par un tableau).


Fonction $h$
============

Soit $h$ la fonction définie sur
$\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ par :
$h(x) = \dfrac{g(x)}{x + 1} 
= \dfrac{2 x^3 - x^2 + 2 m x + m}{x + 1}$

(la fonction $g$ est celle de l’exercice précédent).

1.  Obtenir la représentation graphique de $h$ à l’aide d’un logiciel
    (ou de la calculatrice). INUTILE de m’envoyer une copie d’écran !

    À l’aide d’une lecture graphique, avec la précision permise par
    votre logiciel, construire le tableau de variations de $h$ sur
    $]-\infty\,; -1[ \cup 
        ]-1\,; +\infty[$. (préciser les valeurs extrèmes, ne pas oublier
    la ligne signe de la dérivée . aide : livre p. 112)

    Rappel : une valeur interdite dans un tableau de variations se
    représente à l’aide d’une double barre (voir tableau p. 110)

    $\begin{array}{|l|lcccccr|}
        \hline
        x & -\infty & &   & &   & &+\infty \\\hline
        \text{signe de } h'(x) 
            & & &  &  & || & & \\\hline
            &  & &  & & || & & \\
        \text{variations de } h 
            &  &  &  &  & || &  & \\
            &  &   &   & & || & & \\\hline
        \end{array}$

2.  Donner l’expression de la fonction $h'$, dérivée de la fonction $h$
    (Vous devez préciser les fonctions $u$ et $v$ ainsi que leurs
    dérivées; aide : livre p. 111).

    -   le numérateur est un polynôme du troisième de degré.

    -   NE PAS développer le dénominateur : c’est un carré, donc son
        signe est facile à déterminer !

    
3.  Le numérateur de $g'$ s’annule pour unique valeur $\alpha$
    appartenant à $[-3\,; -1[$.

    1.  À l’aide de la calculatrice / d’un logiciel, donner une valeur
        de $\alpha$ arrondie au centième.

    2.  Déterminer le signe de la fonction $h'$.

    3.  Compléter le tableau de variations de la fonction $h$.

        $\begin{array}{|l|lcccccr|}
        \hline
        x & -\infty & &   & &   & &+\infty \\\hline
        \text{signe de } h'(x) 
            & & &  &  & || & & \\\hline
            &  & &  & & || & & \\
        \text{variations de } h 
            &  &  &  &  & || &  & \\
            &  &   &   & & || & & \\\hline
        \end{array}$