# Fermat : pb du volume

$x \in [0\,;1]$ ; on cherche $x$ tel que $V(x) = x^2 (1- x)$ soit maximal.

## lecture graphique
On lit que le volume est maximum pour $x \approx 0,66$ et il vaut environ $0,15$

## Idée des tangentes

* tangente à un cercle : c'est une droite perpendiculaire au rayon.
* question : tangente à la courbe d'une fonction ?
	* la notion de tangente est **locale** (la droite est tangente à la courbe autour du point)
	![tangente locale](./images/tangente0.png)
	* si la tangente passe par un minimum (ou un maximum) local, la tangente est parallèles à l'axe des abscisses.
	* un tangente, c'est une droite, donc son équation est de la forme $y = mx +p$ (rappel : $m$ est le coefficient directeur et $p$ est l'ordonnée à l'origine)
	* si la tangente passe par un minimum (resp. maximum) local, alors son coefficient directeur est nul.

## Comment calculer le coefficient directeur de la tangente ?

![coeff directeur](./images/tangente1.png)
Si l'équation de la droite est $y = mx +p$ et que les points $A(x_A\,; y_A)$ et $B(x_B\,; y_B)$ appartiennent à la droite, on sait que :

$m  = \dfrac{\Delta_y}{\Delta_x} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

L'idée : rapprocher le point $M$ du point $A$, donc $x_M$ est "très proche" de $x_A$, de même $y_M$ est "très proche" de $y_A$.
Ainsi $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ donnera la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe en $A$.

## La notion d'infiniment petit
Comment calculer avec des réels très proches de $0$ ?

exemples :
* $\Delta_y = 10^{-100}$ et $\Delta_x = 10^{-60}$, alors $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x} = \dfrac{10^{-100}}{10 ^{-60}} = 10^{-100 - (-60)} = 10^{-40}$

* $\Delta_y = 10^{-60}$ et $\Delta_x = 10^{-100}$, alors $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x} = \dfrac{10^{-60}}{10 ^{-100}} = 10^{-60 - (-100)} = 10^{40}$

* $\Delta_y = 2 \times 10^{-60}$ et $\Delta_x = 10^{-60}$, alors $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x} = \dfrac{2 \times 10^{-60}}{10 ^{-60}} = 2$

## calcul du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d'abscisse $a$.

la formule du coefficient directeur serait $\dfrac{y_M - y_A}{x_M - x_A}$
or ici on a $A (a\,; f(a))$ et $M(a + h\,; f(a + h))$
la formule devient : 
$\dfrac{f(a + h) - f(a)}{(a + h) - a}
=\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Pour indiquer que $h$ est très, très; très petit on note :

$\lim\limits_{h \to 0}  \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(a)$

$f'(a)$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$ et il représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.
 
Remarque : $f'(a)$ n'existe pas à chaque fois. En effet $f'(a)$ doit être un réel, c'est à dire il doit appartenir à $]-\infty\,; +\infty[$; parfois on trouvera $f'(a) = \pm\infty$ et d'autre fois suivant l'arrivée du point $M$ (vers la gauche ou la droite du point $A$), on trouvera différentes valeurs.