# nombre dérivé : propriété

le nombre dérivé de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$ se note $f'(a)$ et il représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A(a\,; f(a))$

Si $A$ représente un minimum (maximum)  local, alors la tangente en $A$ est parallèle à l'axe des abscisses, son coefficient directeur est nul.
C'est à dire $f'(a) = 0$.

# Fermat : volume maximal

## théorie
pour $x \in [0\,; 1]$, on a $V(x) = x^2 -x^3$.
On cherche $x = a$ tel que le volume soit maximal, on cherche $a$ tel que $V'(a) = 0$.

Pour calculer $V'(a)$ il faut :

* calculer $\dfrac{V(a + h) - V(a)}{h}$
* calculer "à l'instinct" $\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{V(a + h) - V(a)}{h}$

## calculs

### 1ere étape : simplifier le quotient
$V(a + h) = (a + h)^2 - (a + h)^3$

$V(a + h) = a^2 + 2 ah + h^2 - (a^3 + 3 a^2 h + 3 a h^2 + h^3)$

$V(a + h) = a^2 + 2 ah + h^2 - a^3 - 3 a^2 h - 3 a h^2 - h^3$

et $V(a) = a^2 - a^3$

donc (en factorisant suivant les puissances de $h$) :
 $V(a + h) - V(a) = h (2a - 3 a^2) + h^2(1 - 3a) -h^3$ 

donc 
$\dfrac{V(a + h) - V(a)}{h} = \dfrac{h (2a - 3 a^2) + h^2(1 - 3a) -h^3}{h}$

$= \dfrac{h (2a - 3 a^2)}{h} + \dfrac{h^2(1 - 3a)}{h} - \dfrac{h^3}{h}$ 

$= (2a - 3 a^2) + h(1 - 3a) - h^2$ 

### limite quand $h$ tends vers $0$.

$\lim\limits_{h \to 0} h^2 = 0$

$\lim\limits_{h \to 0} h(1 - 3a) = 0$

$\lim\limits_{h \to 0} 2a - 3a^2 = 2a - 3a^2$

donc : 
$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{V(a + h) - V(a)}{h} = 2a - 3a^2 = V'(a)$

### conclusion
On cherche $a$ telle que $V'(a) = 0$

C'est à dire : $2a - 3a^2 = 0$

$\Leftrightarrow a (2 - 3a) = 0$

$\Leftrightarrow a = 0 \text { ou } a= \dfrac23$.

C'est à dire le volume sera maximal pour $x=\dfrac23$ et il vaudra $V\left(\dfrac23\right) = \dfrac{4}{27}$