# Espérance
moyenne (stats) / espérance (probas)

|  |  |  |  |  |  |
|---|---|---|---|---|---|
|$X = x_i$|$x_0$  |$x_1$  |$x_2$  |  ...|$x_n$  |
|$P(X = x_i)$|$p_0$  |$p_1$  |$p_2$  | ... |$p_n$  |

**moyenne (stats)**

$\bar{x} = \dfrac{p_0 \times x_0 + p_1 \times x_1 + \dots + p_n \times x_n}{p_0 + p_1 + \dots +p_n}$

$\bar{x} = \dfrac{\sum_{k=0}^{n} p_k \times x_k}{\sum_{k=0}^{n} p_k}$

**espérance (probas)**
$E(X) = \dfrac{\sum_{k=0}^{n} p_k \times x_k}{\sum_{k=0}^{n} p_k}$

or les $p_k$ représentent des probabilités, et on sait la somme des probabilités vaut $1$, c'est à dire $\sum_{k=0}^{n} p_k = 1$

donc $E(X) = \dfrac{\sum_{k=0}^{n} p_k \times x_k}{1} = \sum_{k=0}^{n} p_k \times x_k$

**exemple**
(ivrogne) : $E(Y)  \sum_{k=0}^{n} p_k \times y_k$

donc $E(Y) = 0 \times \dfrac{5}{16} + 1 \times \dfrac{5}{16} + 2 \times \dfrac{5}{32} + 3 \times \dfrac{5}{32} + 4 \times \dfrac{1}{32} + 5 \times \dfrac{1}{32}$
$E(Y) =     \dfrac{44}{32} \approx 1,375$

# Ecart-type
**exemple (ivrogne)**
on sait $E(Y)=\dfrac{44}{32}$

Voir tableau Xcas

donc $V(Y) = \dfrac{111}{64}$ d'où
$\sigma(Y) = \sqrt{\dfrac{111}{64}} \approx 1,317$ 








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