# Linéarité de l'espérance.
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|---|---|---|---|---|
|$X=k$|$x_1$ | $x_2$ | ...|$x_n$|
|$P(X=k)$| $p_1$  | $p_2$|...|$p_n$ |

espérance : 
$E(X) = p_1 \times x_1 + p_2 \times x_2 + \dots + p_n \times x_n$

$E(X) = \sum_{k=1}^n  p_k \times x_k$

Si la v.a. $Y$ est obtenue par $Y = a X + b$

$E(Y) = \sum_{k=1}^n  p_k \times {\color{blue}{y_k}}$ (les probabilités $p_k$ sont les mêmes que celle de la loi de $X$)

$E(Y) = \sum_{k=1}^n  p_k \times {\color{blue}{(a \times x_k + b)}}$

$E(Y) = \sum_{k=1}^n  a \times p_k \times x_k + p_k \times b$

ce qui correspond à :

$E(Y) = \begin{array}{lll}
&a \times p_1 \times x_1 &+ p_1 \times b \\
+&a \times p_2 \times x_2 &+ p_2 \times b\\
+&a \times p_3 \times x_3 &+ p_3 \times b\\
+&\dots &+\dots\\
+&a \times p_n \times x_n &+ p_n \times b\\
\end{array}$

En sommant les colonnes :

$E(Y) = a (p_1 \times x_1 +  p_2 \times x_2 + p_3 \times x_3 +\dots+  p_n \times x_n )\\+b(p_1 + p_2 +\dots+p_n )$

$E(Y) = a {\color{blue}{\sum_{k=1}^n p_k   \times x_k}} + b {\color{red}{ \sum_{k=1}^n p_k}}$

or on sait que ${\color{blue}{\sum_{k=1}^n p_k   \times x_k}} = E(x)$

et que ${\color{red}{ \sum_{k=1}^n p_k}} = 1$

donc $E(Y) = a E(X) + b$




**exemple**

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|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|
|$X=x_i$|-2 | 0 | 3|7|
|$P(X=x_i)$| 0,1  | 0,5|0,2|0,2 |

$E(X) = 0,1 \times (-2) + 0,5 \times 0 + 0,2 \times 3 + 0,2 \times 7 =1,8$

si $Y = 5 X + 1$

donc la loi de $Y$ est :

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|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|
|$Y=y_i$|-9 | 1 | 16|36|
|$P(X=y_i)$| 0,1  | 0,5|0,2|0,2 |

donc $E(Y) = 0,1 \times (-9) + 0,5 \times 1 + 0,2 \times 16 + 0,2 \times 36 = 10$

Une astuce ? (remarque)

$E(Y) = 0,1 \times {\color{blue}{(-9)}} + 0,5 \times {\color{red}{1}} + 0,2 \times {\color{green}{16}} + 0,2 \times {\color{purple}{36}}$

$E(Y) = 0,1 \times {\color{blue}{(5 \times (-2) + 1)}} + 0,5 \times {\color{red}{(5 \times 0 + 1)}} + 0,2 \times {\color{green}{(5 \times 3 + 1)}} + 0,2 \times {\color{purple}{(5 \times 7 + 1)}}$

$E(Y) = \begin{array}{lll}
&0,1 \times 5 \times (-2) &+ 0,1 \times 1\\
+& 0,5 \times 5 \times 0 &+ 0,5 \times 1\\
+& 0,2 \times 5 \times 3 &+ 0,2 \times 1\\ 
+& 0,2 \times 5 \times 7 &+ 0,2 \times 1\\
\end{array}$

En sommant les colonnes :
$E(Y) = 5 \times (0,1 \times (-2) + 0,5 \times 0  + 0,2 \times 3 + 0,2 \times 7) \\
+(0,1 + 0,5 + 0,2 + 0,2)$

on retrouve la formule : 
$E(Y) = 5 \times E(X) + 1$

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