# fonctions dérivées

À chaque fonction $f$ on associe sa fonction dérivée notée $f'$.

La fonction dérivée permet d'obtenir les coefficients directeurs des tangente à la courbe de $f$.

Rappel : l'équation la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ est :

$y=f'(a)(x-a) + f(a)$

Le signe du nb. dérivé permet de connaître les variations de la fonction.

## pour la boîte
application de la définition de la page 104.

* la fonction s'appelle $V$
* intervalle de définition $[0\,; 7,425]$
* la fonction dérivée est $V'$

## quelques fonctions dérivées

La fonction $f(x) = x^{\color{red}{n}}$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ est dérivable et sa dérivée est ${f'(x) = {\color{red}{n}} x^{{\color{red}{n}}-1}}$.

exemples :

* $n=2$ : $f(x) = x^{\color{red}{2}}$, donc ${f'(x) = {\color{red}{2}} x^{{\color{red}{2}}-1}} = 2 x^1 = 2x$
* $n=3$ : $f(x) = x^{\color{red}{3}}$, donc ${f'(x) = {\color{red}{3}} x^{{\color{red}{3}}-1}} = 3x^2$

pour les très courageux, on peut retrouver ce résultat en calculant :
$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \dots = 3a^2$


# Opérations sur les fonctions dérivées.

## Problème 
$V(x) = 4x^3 - 71,7x^2 + 311,85x$

$V$ est la somme de trois fonctions :

$f(x) = 4x^3$ ; $g(x) = - 71,7x^2$ et $h(x)  = 311,85x$

## Opérations
On peut faire des opérations avec les fonctions dérivées !

* si $f(x) = u(x) + v(x)$ alors $f'(x) = u'(x) + v'(x)$ (*)
* si $f(x) = k \times u(x)$ , alors $f'(x) = k \times u'(x)$ ($k \in \mathbb{R})$ (**)

## Exemple

$V(x) = 4x^3 - 71,7x^2 + 311,85x$

$V$ est la somme de trois fonctions :

$f(x) = 4x^3$ ; $g(x) = - 71,7x^2$ et $h(x)  = 311,85x$

on sait (*) : $V'(x) = f'(x) + g'(x) + h'(x)$

### On cherche la fonction dérivée de chacune des fonctions

$f(x) = 4x^3$
en utilisant (**) : $f(x) = k \times u(x)$ alors $f'(x) = k \times u'(x)$.

En identifiant : $k=4$ et $u(x) = x^3$ et $u'(x) = 3x^2$ ; 

donc $f'(x) = 4 \times 3x^2 = 12x^2$
 
$g(x) = - 71,7x^2$

en utilisant (**) : $g(x) = k \times u(x)$ alors $g'(x) = k \times u'(x)$.

En identifiant : $k=-71,7$ et $u(x) = x^2$ et $u'(x) = 2x$ ; 

donc $g'(x) = -71,7 \times 2x = -143,4 x$

$h(x) = 311,85x$

$h$ est une fonction affine de la forme $h(x) = mx +p$ avec $m = 311,85$ et $p=0$, donc $h'(x) = 311,85$

### Conclusion

$V'(x) = f'(x) + g'(x) + h'(x)$

$V'(x) = 12x^2  -143,4 x + 311,85$

On admet que le volume de la boîte est maximal quand $V'(x) = 0$

On retrouve notre ami le polynôme du second degré ;-)

On cherche $x \in [0\,; 7,425]$ tel que 
$12x^2  -143,4 x + 311,85 = 0$

de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a = 12$ ; $b=-143,4$ et $c=311,85$.

pas de racine évidente, on calcule $\Delta = b^2 - 4ac$, puis $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

on trouve $x_1 = \dfrac{-\sqrt{15541} + 239}{40} \approx 2,86$ et  $x_2 = \dfrac{\sqrt{15541} + 239}{40} \approx 9,09$ 

or on travaille sur $[0\,; 7,425]$, donc la boîte qui donne le volume maximum a bord d'environ 2,86 cm et ce volume vaut environ 399 $cm^3$.




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