# dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine.

Soit $f$ définie par $f(x) = g({\color{blue}{mx +p}})$, alors $f'(x) = m \times g'({\color{blue}{mx +p}})$

## exemples

### avec une fonction racine carrée
$f(x)=\sqrt{4x+3}$

$f$ est la composée de $g(x) = \sqrt{x}$ et d'une fonction affine $x \mapsto 4x + 3$ avec $m=4$ et $p=3$.

on sait que $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

donc $f'(x) = 4 \times \dfrac{1}{2\sqrt{{\color{blue}{4x +3}}}} = \dfrac{2}{\sqrt{{\color{blue}{4x +3}}}}$

car la formule dit  $g'({\color{blue}{mx +p}})$

### avec une fonction puissance

$f(x) = (4x - 5)^3$

deux possibilités :
* voir $f$ comme un produit : $f(x) = (4x - 5) \times (4x - 5)^2 = (4x - 5) \times (16x^2 -40x+25)$
* voir $f$ comme une fonction composée : avec $g(x) = x^3$ et une fonction affine $x \mapsto 4x - 5$

on sait que $g'(x) = 3x^2$, donc $f'(x) = 4 \times 3 \times (4x - 5)^2 = 12(4x -5)^2$


# Variations d'une fonction

On cherche les variations d'une fonction $f$, pour cela il faut étudier le signe de la fonction dérivée $f'$.

## Attention à $f'(x) = 0$

* exemple de la boîte : $V(x)=x(21 - 2x)(14,85 -2x)$ ... étude ... on a trouvé que $V'(x)=0$ admet une solution $[0\,; 7,425]$, on a conclu à la présence d'un maximum local, car la fonction était croissante (dérivée positive) puis décroissante (dérivée négative).
* $f(x) = (x - 3)^3 + 100$ a pour dérivée $f'(x) = 3(x-3)^2$ qui ne change pas signe (toujours positive) donc la valeur qui annule la dérivée ($x=3$) N'EST PAS l'abscisse d'un extremum.

### justification de la dérivée de $f$

on reconnaît une fonction composée avec $g(x) = x^3$ (avec $g'(x)=3x^2$) et la fonction affine $x \mapsto x - 3$ (avec $m=1$), donc $f'(x) = 1 \times 
3 (x - 3)^2 + {\color{blue}{0}} = 3 (x - 3)^2$ (le ${\color{blue}{0}}$ est la dérivée de $100$).

on remarque que $f'$ s'annule en $3$ et est toujours positive.

### tableau de variations de $f$

on a $f(x) =  (x - 3)^3 + 100$ 
et donc le tableau de variations :


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