# sens de variation d'une suite.
$u_n = \dfrac{2}{n+1}$ et $n \in \mathbb{N}$

Visuellement (graphe de la fonction $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$), ou bien tableau de valeurs, on conjecture que la suite est décroissante.

Si la suite est décroissante, cela signifie que $u_{n+1} \leq u_n \Leftrightarrow u_{n+1} -u_n \leq 0$

Calculons : 

$u_{\color{red}{n+1}} - u_n = \dfrac{2}{\color{red}{(n+1)} + 1} - \dfrac{2}{n+1}$

$u_{n+1} - u_n = \dfrac{2}{n+2} - \dfrac{2}{n+1}$

$u_{n+1} - u_n = \dfrac{2  \times (n+1)}{(n+2) \times (n+1)} - \dfrac{2 \times (n+2)}{(n+1) \times (n+2)}$

$u_{n+1} - u_n = \dfrac{2  \times (n+1) - 2 \times (n+2)}{(n+1) \times (n+2)}$

$u_{n+1} - u_n = \dfrac{2 n+2 - 2 n-4}{(n+1) \times (n+2)}$

$u_{n+1} - u_n = \dfrac{-2}{(n+1) \times (n+2)}$

on sait que $n \in \mathbb{N}$, c'est à dire $n \geq 0$, donc

$n+1 \geq 1 > 0$

$n+2 \geq 2 > 0$

d'où $(n+1) \times (n+1) >0$

donc $u_{n+1} -u_n = \dfrac{\text{négatif}}{\text{positif}} = \text{négatif}$
 $u_{n+1} -u_n \leq 0$

On vient de démontrer que la suite est décroissante.

à faire : p 157 n° 48