# p 157 n° 48
**première suite : $u_n = 3^n$**

* $u_0 = 3^0 = 1$
* $u_1 = 3^1 = 3$
* $u_2 = 3^2 = 9$

conjecture : la suite $(u_n)$ semble croissante.

cours : suite croissante : 

$u_{n+1} \geq u_n  \Leftrightarrow u_{n+1} -u_n \geq 0$

démonstration 
${\color{red}{u_{n+1}}} -u_n = {\color{red}{3^{n+1}}} - 3^n$

$u_{n+1} -u_n = {\color{red}{3^n \times 3}} - 3^n$

$u_{n+1} -u_n = {\color{red}{3^n \times 3}} - 3^n {\color{blue}{\times 1}}$

$u_{n+1} -u_n = 3^n \times (\color{red}{3} - \color{blue}{1})$

$u_{n+1} -u_n = 3^n \times 2$

donc $u_{n+1} -u_n \geq 0$,
la suite $(u_n)$ est croissante.




**troisième suite**
$\begin{cases} 
u_0 = 2 \\ 
u_{n+1} = u_{\color{red}n} + \dfrac{1}{{\color{red}n}+1}
\end{cases}$

* $u_1 = u_{\color{red}0} + \dfrac{1}{{\color{red}0}+ 1} = 2 + \dfrac{1}{0 + 1} = 3$
* $u_2 = u_{\color{red}1} + \dfrac{1}{{\color{red}1}+ 1} = 3 + \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{7}{2}$


conjecture : la suite $(u_n)$ semble croissante, pour le démontrer, on étudie le signe de la différence de deux termes consécutifs.

$u_{n+1} -u_n = \dfrac{1}{n+1}$
or $n \in \mathbb{N}$, donc $n \geq 0$, d'où $\dfrac{1}{n+1} \geq 0$, donc la suite $(u_n)$ est croissante.

**deuxième suite** : 
$u_{n+1} -u_n = \dfrac{-4 (2n +1)}{n^2 (n+ 1)^2} < 0$

**quatrième suite:**
$u_{n+1} -u_n = -n^2 < 0$

pour lundi : p 162 n° 94 - 95



# limite d'une suite... type c05
la suite $(u_n)$ est définie sur $\mathbb{N}$ par :
$u_n=\dfrac{2n + 3}{n + m}$

1. calculer les 3 premiers termes "à la main".
2. représenter graphiquement les 10 premiers termes à l'aide de calculatrice. (voir fichier GGB)
3. conjecturer le sens de variation, puis le démontrer. (réponse : à voir suivant les valeurs de $m$)
4. conjecturer la limite de la suite.

réponse : à l'aide de la calculatrice, j'ai l'impression que (quelle que soit la valeur de $m$) : $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 2$