# p. 162 n° 95

$\begin{cases}
u_0 = 3 \\
u_{n+1} = \dfrac{1 - u_n}{1+ u_n}
\end{cases}$


1. représentation à l'aide de la calculatrice.

![numworks : menu suite](p162n95_1.png)
![numworks : suite récurrente](p162n95_2.png)
![numworks : écrire u_n](p162n95_3.png)
![numworks : définition de la suite](p162n95_4.png)
![numworks : graphique](p162n95_5.png)

La suite n'est pas monotonne : il semble que les termes
de rang pair valent tous $3$ et que ceux de rang impair
valent tous $-\frac12$.

2. expression de $u_{n+2}$ en fonction de $u_n$.

$u_{n+2} = \dfrac{1 - u_{n+1}}{1 + u_{n+1}}$

or $u_{n+1} = \dfrac{1 - u_n}{1 + u_n}$

d'où : $u_{n+2} = \dfrac{1 - \frac{1 - u_n}{1 + u_n}}{1 + \frac{1 - u_n}{1 + u_n}}$

$u_{n+2} = \dfrac{1 + u_n - (1 - u_n)}{1 + u_n + (1 + u_n)} = u_n$

Conclusion :

* si $n$ est pair : $u_n = u_0 = 3$
* si $n$ est impair : $u_{n+1} = u_1 = \dfrac{1 - u_0}{1 + u_0} = -\dfrac12$



# p 162 n° 94

$\begin{cases}
u_0 = 3 \\
u_{n+1} = 2u_n - 4
\end{cases}$

1. Calculatrice

Conjecture : la suite est décroissante (et diverge vers $-\infty$)

2. Suite $(v_n)$.

Remarque : pour tout $n \in \mathbb{N} : v_n = u_{n+1} - u_n$.

donc $v_n = 2 u_n -4 - u_n = u_n - 4$

2.a $v_{n+1} = u_{n+1} - 4 = 2 u_n - 4 - 4 = 2 (u_n - 4) = 2 v_n$.

C'est à dire que chaque terme est le double du précédent.

2.b $v_0 = u_0 - 4 = 3 - 4 = -1$.

Comme on double à chaque fois, quelque soit $n \in \mathbb{N} : v_n < 0$

2.c sens de variation de $(u_n)$.

On étudie le signe de la différence de deux termes consécutifs : 

$u_{n+1} - u_n = v_n < 0$, donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

3. différentes valeurs de $u_0$.

* si $u_0 = 6$, alors $v_0 = 6 - 4 = 2$, 

donc pour tout  $n \in \mathbb{N} : v_n > 0$

et $u_{n+1} - u_n = v_n > 0$, donc la suite $(u_n)$ est croissante.

* si $u_0 = 4$, alors $v_0 = 4 - 4 = 0$, 

donc pour tout  $n \in \mathbb{N} : v_n = 0$

et $u_{n+1} - u_n = v_n = 0$, donc la suite $(u_n)$ est constante.