# p 83 n° 18

équation réduite de droite :
$y= mx + p$

## droite $d_1$
$m = 2$ et $A(-2\,; 4)$

proposition :
$y = 2x + \dfrac{17}{2}$

vérifications possibles :

* représentation graphique + lecture de l'ordonnée à l'origine
* remplacer $x$ par l'abscisse de $A$ (dans l''équation) et vérifier que le calcul donne l'ordonnée de $A$.

Rappels :

* une droite est portée par un **vecteur directeur** qui a pour coordonnées $(1\,; m)$ ($m$ étant le coefficient directeur de la droite).
* la direction d'un vecteur représente son "inclinaison" par rapport à l'axe des abscisses.
* la transformation liée aux vecteurs est la translation.

Conclusion : l'équation de la droite n'est pas : $y = 2x + \dfrac{17}{2}$

Méthode possible :
à partir $y=mx +p$, sachant que $m=2$, remplacer $y$ par ${\color{red}{y_A}}$ et $x$ par ${\color{blue}{x_A}}$

${\color{red}4} = 2 \times {\color{blue}{(-2)}} + p \Leftrightarrow p=8$

on trouve $y = 2x + 8$

## de même :

* $d_2 : y = - \dfrac12 x + \dfrac72$
* $d_3 : y = \dfrac13$


## remarque sur les équations de droite

![équation de droite](./210125_eq-droite.png)

Triangle orange  et triangle bleu = théorème de Thalès.

${\color{orange}{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}} = {\color{blue}{\dfrac{m}{1}}}$

$y_B -y_A = m (x_B - x_A)$

$y_B = m (x_B - x_A) + y_A$

Dans le cas général, si $A$ est connu on note ses coordonnées $(x_A\,; y_A)$ et si $B$ n'est pas connu, on note ses coordonnées $(x\,;y)$ dans cas l'équation s'écrit :

$y = m (x - x_A) + y_A$

## Dans le cas particulier d'une tangente à la courbe.

l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$,  au point $A$ d'abscisse $a$ et d'ordonnée $f(a)$ s'écrit :

$y = f'(a) (x - a) + f(a)$

avec $f'(a)$ le coefficient directeur de la tangente.


# p 73. n° 1
$f(x)= -2x^2 + 5$

$\tau(h) = \dfrac{f(a +h) - f(a)}{h}$

1.a pour $a = 4$
$\tau(h) = \dfrac{{\color{red}{f(4 +h)}} - {\color{blue}{f(4)}}}{h}$

$\tau(h) = \dfrac{{\color{red}{-2(4 +h)^2 + 5}} - ({\color{blue}{-2 \times 4^2 + 5}})}{h}$

$\tau(h) = \dfrac{{\color{red}{-2(4^2 + 8h + h^2) + 5}} - ({\color{blue}{-2 \times 4^2 + 5}})}{h}$

$\tau(h) = \dfrac{{\color{red}{-2 \times 4^2 - 16 h -2 h^2 + 5}} + {\color{blue}{2 \times 4^2 - 5}}}{h}$

$\tau(h) = \dfrac{- 16 h -2 h^2 }{h}
= \dfrac{- 16 h}{h}  - \dfrac{2 h^2 }{h} = -16 - 2h$

ou bien :
$\tau(h) = \dfrac{- 16 h -2 h^2 }{h}
= \dfrac{h(- 16 - 2 h)}{h} = -16 - 2h$

donc $\lim\limits_{h \to  0} \tau(h) = \lim\limits_{h \to 0} -16 - 2h = -16$

le nombre dérivé de $f$ en $a=4$ est $f'(4)$ et il vaut $-16$, d'où $f'(4) = -16$.

Bonus : l'équation de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $4$ est :

$y = f'(a)(x-a) + f(a)$ donc
$y = f'(4)(x-4) + f(4)$

$y = -16(x - 4) + (-27) = -16x + 37$ 



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