# travail de recherche
## Rappels
### Enoncé
Soit la parabole $\mathscr P$, d'équation $y = x^2$, $A$ et $B$ sont deux points de $\mathscr P$.

Tracer les tangentes à $\mathscr P$ en $A$ ($\mathscr T_A$) et $B$ ($\mathscr T_B$).
$M$ est le point d'intersection de $\mathscr T_A$ et $\mathscr T_B$ : conjecture + démonstration.

Existe-t-il une relation entre les coordonnées des points $A$, $B$ et $M$ ?

### Conjecture
l'abscisse de $M$ est la moyenne des abscisses de $A$ et $B$, c'est à dire $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$

### Plan de travail

1. calculer le taux d'accroissement en $a$
2.  équation de la tangente en $a$ 
3.  écrire ces équations dans les cas particulier pour $x_A$ et $x_B$ 
4. trouver les coordonnées du point d'intersection.

### première "découverte"
quelque soit $a \in \mathbb R$, la fonction $f : x \mapsto x^2$ admet pour nombre dérivé  $f'(a) = 2a$.


## Suite du travail

### équation de la tangente
équation de la tangente à $\mathscr P$ au point d'abscisse $a$ : 
$y = f'(a)(x -a) + f(a)$

ici : $A(x_A\,; x_A^2)$ donc

$y = f'(x_A)(x - x_A) + f(x_A)$

$\Leftrightarrow y = 2x_A (x - x_A) + x_A^2$

$\Leftrightarrow y = 2x_A x - x_A^2$

et $B(x_B\,; x_B^2)$ donc l'équation de la tangente est : $y = 2x_B x - x_B^2$

### Coordonnées du point $M$

Le point $M(x_M\,; y_M)$ est le point d'intersection des tangentes, donc ses coordonnées vérifient :

Comme $M$ appartient à $\mathscr T_A$, ses coordonnées $(x_M\,; y_M)$ doivent vérifier l'équation de la tangente : $y = 2x_A x - x_A^2$

$\begin{cases}
y_M = 2x_A x_M - x_A^2  \\
y_M = 2x_B x_M - x_B^2
\end{cases}$

(système d'équations avec comme inconnues $x_M$ et $y_M$).

Pour résoudre un système:

* par substitution : 1ere ligne exprimer $y_M$ en fonction de $x_M$ puis remplacer $y_M$ par cette expression dans la deuxième ligne.
* par combinaison : garder la ligne 1, et remplacer la ligne 2 par la différence des deux lignes.


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