# résolution du système
$\begin{cases}
y_M = 2x_A x_M - x_A^2  \\
y_M = 2x_B x_M - x_B^2
\end{cases}$

(système d'équations avec comme inconnues $x_M$ et $y_M$).

Pour résoudre un système:

* par substitution : 1ere ligne exprimer $y_M$ en fonction de $x_M$ puis remplacer $y_M$ par cette expression dans la deuxième ligne.
* par combinaison : garder la ligne 1, et remplacer la ligne 2 par la différence des deux lignes.

## Zut, comment faire ?
 un exemple numérique : supposons $A(-2\;, 4)$ et $B(3\,; 9)$
 et $M(x\,;y)$
 le système devient :
 
$\begin{cases}
y = -4 x - 4  & L_1\\
y = 6 x - 9 & L_2
\end{cases}$

### Méthode par substitution
Exprimer dans $L_1$, $y$ en fonction de $x$ (il y a $y$ seul dans le membre de gauche ; un expression en $x$ dans le membre de droite). Ici, c'est déjà fait !

On remplace $y$ par son expression dans $L_2$ :
$\begin{cases}
{\color{blue}{y}} = {\color{blue}{-4 x - 4}}  & L_1\\
{\color{blue}{-4 x - 4}} = 6 x - 9 & L_2
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
y = -4 x - 4  & L_1\\
{\color{blue}{-4 x - 4}} = 6 x - 9 & L_2
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
y = -4 x - 4  & L_1\\
x = \frac12 & L_2
\end{cases}$

On remplace $x$ par sa valeur dans $L_1$, on trouve $y=-6$.
Le système admet un unique couple solution $(0,5\,; -6)$.

### Méthode par combinaison
On peut :

* additionner / soustraire $L_1$ et $L_2$ entre elles ;
* multiplier / diviser une ligne par un réel non nul.

$\begin{cases}
y = -4 x - 4  & L_1\\
y = 6 x - 9 & L_2
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
y = -4 x - 4  & L_1 \leftarrow L_1\\
0 = -10 x +5 & L_2 \leftarrow {\color{blue}{L_1 - L_2}}
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
y = -4 \times 0,5  - 4 = -6 & L_1\\
x = 0,5 &L_2 
\end{cases}$

explication : 

${\color{blue}{L_1 - L_2}} = - 4x - 4 - (6x - 9) = - 4x - 4  - 6x + 9 = -10 x + 5$

## Retour au cas général

$\begin{cases}
y_M = 2x_A x_M - x_A^2  \\
y_M = 2x_B x_M - x_B^2
\end{cases}$

par substitution :

$\begin{cases}
y_M ={\color{blue}{ 2x_A x_M - x_A^2}}  \\
{\color{blue}y_M} = 2x_B x_M - x_B^2
\end{cases}
\Leftrightarrow 
\begin{cases}
y_M ={\color{blue}{ 2x_A x_M - x_A^2}}  & (*)\\
{\color{blue}2x_A x_M - x_A^2} = 2x_B x_M - x_B^2
\end{cases}$

brouillon : résolution de 
$2x_A x_M - x_A^2 = 2x_B x_M - x_B^2$

$\Leftrightarrow 2x_A x_M - x_A^2 {\color{red}-2x_B x_M} = 2x_B x_M - x_B^2 {\color{red}-2x_B x_M}$

$\Leftrightarrow {\color{blue}{2}}x_A {\color{blue}{x_M}} - x_A^2 -{\color{blue}{2}}x_B {\color{blue}{x_M}} = - x_B^2$

$\Leftrightarrow  {\color{blue}{2 x_M}}(x_A -x_B) - x_A^2  = - x_B^2$

$\Leftrightarrow  {\color{blue}{2 x_M}}(x_A -x_B) - x_A^2  {\color{red}{+ x_A^2}}= - x_B^2 {\color{red}{+ x_A^2}}$

$\Leftrightarrow  {\color{blue}{2 x_M}}(x_A -x_B)=  {\color{red}{x_A^2}} - x_B^2$

$\Leftrightarrow  {\color{blue}{2 x_M}}(x_A -x_B)=  (x_A + x_B)(x_A - x_B)$

Or les points $A$ et $B$ ne sont pas confondus, donc $x_A \neq x_B \Leftrightarrow x_A - x_B\neq 0$

$\Leftrightarrow  \dfrac{2 x_M(x_A -x_B)}{2 ({\color{red}{x_A-x_B}})}= \dfrac{(x_A + x_B)(x_A - x_B)}{2({\color{red}{x_A-x_B}})}$

$\Leftrightarrow x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$

Pour terminer, on remplace $x_M$ par son expression dans $(*)$

à finir...


# Correction rapide des exercices

## p 86 n° 41
* Tangente en $A$ : $y = 4$
* Tangente en $B$ : $y= -2x + 1$
* Tangente en $C$ : $y= 2$ 
* Tangente en $D$ : $y= 2x + 1$

## p 90 n° 74

équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

qui peut s'écrire $y = {\color{blue}{f'(a)}} x {\color{green}{- f'(a)a + f(a)}}$

on retrouve $y = {\color{blue}{m}}x + {\color{green}{p}}$ 

avec $m= f'(a)$ et $p=- f'(a)a + f(a)$

ici, la tangente au point d'abscisse $a=3$, a pour équation $y = {\color{blue}{-2}}x +{\color{green}{3}}$, donc $f'(3) = -2$.

Le point $A$ a pour coordonnées $(3\,; f(3))$

En utilisant le fait que ${\color{green}{p=- f'(a)a + f(a)}}$ et sachant ${\color{green}{p = 3}}$

à finir... + p 90 n° 75