# Problème des tangentes à la parabole.

On avait trouvé : $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$
Il fallait trouver l'expression de $y_M$ à l'aide de 
$y_M =2x_A x_M - x_A^2$

On trouve : $y_M = x_A \times x_B$.

# p 90 n° 74
la droite d'équation $y=-2x+3$ est tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $3$.

On peut représenter la situation : pas le choix pour tracer la tangente, on suppose une courbe possible :
![p90n74.png](p90n74.png)

Pour $x=3$, on trouve $y=-2 \times 3 + 3 = -3$
donc le point $A$ a pour coordonnées $(3\,; -3)$ (il appartient à la courbe et à la tangente).

# p 90 n° 72
On peut dessiner la tangente en $a =0$. Question, la tangente est-elle la représentation d'une fonction affine ? Si oui, la fonction est dérivable en $0$, sinon, elle ne l'est pas...
![p90n72.png](p90n72.png)

(1) la tangente est "cassée" en $0$, donc la fonction n'est pas dérivable en $0$.

Ou bien : 
la tangente à gauche de $0$, pour des valeurs de $x$ négatives, a pour coefficient directeur $-1$ ; 
la tangente à droite de $0$, pour des valeurs de $x$ positives, a pour coefficient directeur $1$ ; 
comme $-1 \neq 1$, la fonction n'est pas dérivable en $0$.

(2) même idée que (1) : la fonction n'est pas dérivable en $0$.

(3) la tangente représente une fonction affine : la fonction est dérivable en $0$.

(4) On reconnaît la fonction inverse : elle n'est pas définie en $0$, donc elle ne peut pas être dérivable en $0$.


# p 93 n° 92

équation de la tangente : $y= f'(a)(x - a) + f(a)$

Pour la fonction carrée, la tangente au point d'abscisse $a$ est donnée par : $y = 2a (x- a) + a^2 = 2ax - a^2$

Pour la fonction inverse, la tangente au point d'abscisse $b$ est donnée par : $y = \dfrac{-1}{b^2} (x - b) + \dfrac{1}{b} = \dfrac{-1}{b^2} x + \dfrac{2}{b}$

Les tangentes sont confondues si elles ont la même équation.

même coefficient directeur, il faut : $2a = \dfrac{-1}{b^2}$

même ordonnée à l'origine, il faut : $-a^2 = \dfrac{2}{b}$

$\begin{cases}
2a &= \dfrac{-1}{b^2} \\
-a^2 &= \dfrac{2}{b}
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a &= \dfrac{-1}{2b^2} \\
-\left(\dfrac{-1}{2b^2}\right)^2 &= \dfrac{2}{b}
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a &= \dfrac{-1}{2b^2} \\
-\dfrac{1}{4b^4} &= \dfrac{2}{b}
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a &= \dfrac{-1}{2b^2} \\
-1 &= 8 b^3
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a &= \dfrac{-1}{2b^2} \\
-1 &= (2 b)^3 (*)
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a &= \dfrac{-1}{2b^2} \\
b &= -\dfrac{1}{2}
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a &= -2 \\
b &= -\dfrac{1}{2}
\end{cases}$

(*) ici il faut expliquer... la fonction cube est strictement croissante et le seul antécédent de $(-1)$ est $(-1)$ (en effet $(-1)^3= -1$), donc il faut $2b = -1 \Leftrightarrow b = - \dfrac{1}{2}$.

Conclusion : la tangente à la parabole au point d'abscisse $(-2)$ est aussi tangente à l'hyperbole au point d'abscisse $-\dfrac12$.


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