# p 360 n° 69

|nb. d'objets  |$F$|$\bar{F}$|total|
|---|---|---|---|---|
$S$ | 8  | 8  |   16|
$\bar{S}$ | 4  |180   | 184  |
total |  12| 188  | 200  |

* coût de fabrication : 200 €
* prix de vente : 250 €

## loi de proba
loi de probabilité de $X$ qui représente le bénéfice (algébrique) de l'entreprise.

|valeurs de $X$  |$F$|$\bar{F}$|
|---|---|---|---|
$S$ | a  | b  | 
$\bar{S}$ | c  |d   |

* d : prix de vente (sans défaut) : 250 €, donc gain de 250 - 200 = 50 €
* b : le seul défaut $S$. 
baisser une quantité $q$ de de 15% c'est la multiplier par $\left( 1 - \dfrac{15}{100}\right)$ donc un gain de $X = 250 \times 0,85 - 200 = 12,5$
* c : seul défaut $F$. Gain : $X = 250 - 200 - 45 = 5$
* a :deux défauts, gain $X = 250 - 200 - 58 = -8$

|valeurs de $X$  |$F$|$\bar{F}$|
|---|---|---|---|
$S$ | -8  | 12,5  | 
$\bar{S}$ | 5  |50   |

donc la loi de $X$ est :

|$X = x_i$ | -8  |5 | 12,5 | 50 |
|----|----|----|----|----|
|$p(X = x_i)$ | $\dfrac{8}{200} = 0,04$  |$\dfrac{4}{200} = 0,02$ | $\dfrac{8}{200} = 0,04$ | $\dfrac{180}{200} = 0,9$ |

2b) proba d'un gain négatif (d'une perte) : $p(X \leq 0) = p(X = -8) = 0,04$

## gain moyen
3) gain moyen de l'entreprise.

L'espérance représente le gain moyen pour la vente d'UN objet.

$E(X) = - 8 \times 0,04 + 5 \times 0,02 + 12,5 \times 0,04 + 50 \times 0,9 = 45,28$

pour 200 objets, l'entreprise peut espérer gagner $45,28 \times 200 = 9\,056\, €$


# p. 362 n° 79

|nb. de menus  |$V$|$\bar{V}$|total|
|---|---|---|---|---|
$E$ | 42  | 18  |   60|
$J$ | 16 (c)  |24   | 40  |
total |  58| 42 | 100  |

(c) : 40 % des clients qui prennent le menu du jour. $\dfrac{40}{100} \times 40 = 16$

Dépenses :

|$D$  |$V$|$\bar{V}$|
|---|---|---|---|
$E$ | 14  | 12  | 
$J$ | 17  |15   |

## loi de proba
on en déduit la loi de probabilité

|$D = d_i$ | 12 |14 | 15 | 17 |
|----|----|----|----|----|
|$p(D = d_i)$ | $\dfrac{18}{100} = 0,18$  |$\dfrac{42}{100} = 0,42$ | $\dfrac{24}{100} = 0,24$ | $\dfrac{16}{100} = 0,16$ |

on calcule $E(D) = 14,36$, le restaurateur peut espérer une recette de 14,36 € par repas.
Sur une semaine de 6 jours, il peut espérer gagner $200 \times 14,35 \times 6 = 17\,232$ euros.

## conseil financier
augmentation des prix de 10%, baisse de fréquentation de 10%... est-ce intéressant ?

augmenter de 10%, signifie que tous les prix sont multipliés par $\left( 1+ \dfrac{10}{100}\right) = 1,1$

La v.a. $Y$ représente les nouveaux prix, donc $Y = 1,1 X$, donc la nouvelle espérance de gain $E(Y) = 1,1 E(X) = 1,1 \times 14,36 \approx 15,79$

rappel (linéarité de l'espérance) : si v.a. $Y = a X + b$ alors $E(Y) = a E(X) + b$

Si la fréquentation baisse de 10% (baisser de 10% c'est multiplier par $\left(1- \dfrac{10}{100}\right) = 0,9$ ), il espère avoir $200 \times 0,9 = 180$ clients.

Par semaine (6 jours) il peut espérer gagner $15,79 \times 180 \times 6 \approx 17\,053$ euros.

 
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