# Compléments du cours

## Première formule
**très important $\log(10^x) = x$**

### exemples :
* $\log(10^2) = 2$ or $10^2=100$ donc $\log(100) = 2$
*  $\log(10^{-3}) = -3$ or $10^{-3}= 0,001$ donc $\log(0,001) = -3$
* par contre pour calculer $\log(50)$ on utilise la calculatrice.

### Remarque
et pour $\log(100^3)$ ? 

la formule ne fonctionne que pour les puissances de $10$.
1. écrire $100^3$ comme une puissance de $10$
2. appliquer la formule.

on sait que $100= 10^2$, donc $100^3 = (10^2)^3 = 10^{2 \times 3} = 10^6$

donc $\log(100^3) = \log(10^6) = 6$

## Deuxième formule

$a <b$ est équivalent à $\log(a) < \log(b)$.

Cette formule est utilisée dans les recherche de seuil.

### Exemple :
Un capital de $1\,000$ euros qui est placé à un taux de $5\,\%$ en intérêts composés.

$C_n$ est le capital à l'année $n$.

$C_0= 1\,000$ ; 
$C_1 = 1\,000 \times \left( 1 + \dfrac{5}{100}\right) = 1\,000 \times 1,05 = 1\,050$

on reconnaît une suite géométrique :
$C_{n+1} = C_n \times 1,05$ (formule par récurrence)

on sait donc que $C_n = C_0 \times 1,05^n$ (formule explicite)

On cherche le nombre d'années nécessaires pour doubler le capital (comme $C_0= 1\,000$, on cherche $n$ tel que $C_n = 2\,000$.)

#### à l'aide du tableur
![tableur](./images/tableur1-mini.png)
 on peut copier les formules vers le bas et découvrir que le capital a doublé en 15 ans.
![tableur](./images/tableur2-mini.png)

### à l'aide des logarithmes
$C_n= 1\,000 \times 1,05^n$
on cherche $n$ tel que $C_n > 2\,000$

$1\,000 \times 1,05^n > 2\,000$

$\dfrac{1\,000 \times 1,05^n}{\color{red}{1\,000}} > \dfrac{2\,000 }{\color{red}{1\,000}}$

$1,05^n > 2$

donc $\log(1,05^n) > \log(2)$

$\log(1,05^n) > 0,3$

La suite du cours va donner des formules qui permettent de continuer le calcul...


## Graphe de la fonction.
La fonction est strictement croissante, mais sa croissance "est très très lente".

On trouve $y=6$ pour $x=1\,000\,000$ !

![graphe](./images/courbe1-mini.png)

## Signe de la fonction

pour $x \in ]0\,; 1[$ la fonction est négative ; et positive sinon.


# Exercices

## p 84 n° 29

$\begin{array}{lccccc}
\hline
x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline
\log(x) & 0,3 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8\\
\hline
\end{array}$

## p 86 n° 55

$\begin{array}{lccccc}
\hline
x & 0,1 & 1 & 10^2 = 100 & 0,001 & 10^{-5}  \\\hline
\log(x) & -1 & {\color{blue}{0}} & {\color{red}{2}} & -3 & -5\\
\hline
\end{array}$

pour trouver l'antécédant de ${\color{blue}{0}}$, on sait $\log(10^x) =x$; donc on a : 
$\log(10^x) ={\color{blue}{0}}$ donc il faut avoir $10^0 = 1$

pour trouver l'antécédant de ${\color{red}{2}}$, on sait $\log(10^x) =x$; donc on a : 
$\log(10^x) ={\color{red}{2}}$ donc il faut avoir $10^2 = 100$







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