Calculs de pourcentages

1. Calculer 40% de 75 €.
2. Des chaussures à 25 € sont soldées à «- 30 %» : calculer leur nouveau prix.

Aire d'un triangle connaissant les longueurs des côtés

Le demi périmètre est $p = \dfrac{a + b + c}2$ avec $a$, $b$ et $c$ les côtés du triangle et l'aire $\mathscr A$ est donnée par la formule :

$$\mathscr A = \sqrt{p (p-a)(p-b)(p-c)}$$

Calculer l'aire d'un triangle dont les mesures des côtés en cm sont : $a=3$ ; $b=6,64$ et $c=7,08$.

Pour calculer des produits de tête, on peut utiliser la distributivité.

Exemple : soit à calculer $P = 5670 \times 760$ on peut écrire :

$\begin{array}{rl} P &= 5\,670 \times 760 \\ P &= (5\,000 + 600 + 70) \times (700 + 60)\\ P &= 5\,000 \times 700 + 600 \times 700 + 70 \times 700 + 5\,000 \times 60 + 600 \times 60 + 70 \times 60\\ P &= 3\,500\,000 + 420\,000 + 49\,000 + 300\,000 + 36\,000 + 4\,200\\ P &= 4\,309\,200 \end{array}$

Chronométrez-vous pour calculer de tête :

• $4\,309 \times 79$ et prendre son premier chiffre : c'est le chiffre des centaines du nombre mystère.
• $120 \times 78$ et prendre son deuxième chiffre : c'est le chiffre des dizaines du nombre mystère.
• $912 \times 1\,002$ et prendre son troisième chiffre : c'est le chiffre des unités du nombre mystère.

Donner le nombre mystère.

le théorème des quatre carrés

tout entier peut s'écrire comme la somme de quatre entiers (éventuellement nuls) au carrés

exemples

• $32 = 4^2 + 4^2 + 0^2 + 0^2$
• $33 = 4^2 + 4^2 + 1^2 + 0^2 = 4^2 + 3^2 + 2^2 + 2^2$
• $34 = 4^2 + 4^2 + 1^2 + 1^2$
• $35 = 4^2 + 3^2 + 3^2 + 1^2$

Donner une décomposition sous forme de somme de quatre carrés de 36 ; 37 et 38.

Des radicaux imbriqués (ou radicaux emboîtés) sont des expressions contenant des racines d'expressions contenant elles-mêmes des racines.

Par exemple : $\sqrt{3 + \sqrt8}$ ; $\sqrt{5 - \sqrt{24}}$ ; $\sqrt{2 + \sqrt3}$.

Dans certains cas, on peut simplifier l'expression

• $\sqrt{3 + \sqrt8} = 1 + \sqrt2$
• $\sqrt{5 - \sqrt{24}} = \sqrt3 - \sqrt2$
• $\sqrt{2 + \sqrt3} = \sqrt{\dfrac32} + \sqrt{\dfrac12}$

Déterminer la force d'attraction entre la pomme de Newton et la Terre, sachant que la masse de la Terre $(m_1)$ est d'environ $6 \times 10^{24}\, \text{kg}$, celle de la pomme $(m_2)$ est $300\, \text{g}$ et que la pomme est à $5 \,\text{m}$ du sol.

Deux objets de masse 4 kg et 6 kg sont séparés par une distance de 2 m. Combien vaut la force gravitationnelle entre ces deux objets ?

La spirale d'or apparait sur le logo de l' Association for Women in Mathematics (AWM)

Cette spirale se base sur la suite de Fibonacci. Dans cette suite chaque nombre est égal à la somme des deux nombres d'avant : ils se définissent par la formule :

$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$

Par exemple, nos deux premiers nombres, notés $F_0$ et $F_1$, sont tout les deux égal à 1. Notre troisième nombre, $F_2$, est donc égal à 2, car

$F_2=F_{2-1}+F_{2-2} \Leftrightarrow F_1+F_0 \Leftrightarrow 1+1=2$

Les carrés sous les lettres AWM suivent la formule de la suite de Fibonacci par la longueur de leurs côtés. En partant du plus petit au plus grand, le premier carré a $F_0$ de côté (soit 1), le deuxième $F_1$ (soit 1), le troisième $F_2$ (soit 2), et ainsi de suite. Et la spirale est constituée de quarts de cercle, dont le centre est un sommet du carré et le rayon la longueur d'un de ses côtés.

À partir de cette suite, nous pouvons approximativement trouver ce qu'on appelle le nombre d'or, ou divine proportion.

Ce nombre, noté $\varphi$ est égal à $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,618...$

1. Calculer les quotients : $\dfrac{F_1}{F_0}$ ; $\dfrac{F_2}{F_2}$ ; $\dfrac{F_3}{F_3}$ ... $\dfrac{F_{10}}{F_9}$. Que remarquez vous ?
2. À l'aide d'un tableur : calculer les 100 premiers termes de la suite de Fibonacci, puis calculer les rapports de deux termes consécutifs :émettre une conjecture en relation avec le nombre d'or.

Exercice de probabilités

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Déterminer la probabilité des événements suivants, sachant que chaque carte a la même probabilité d'être choisie :

• A : «la carte tirée est le valet de trèfle.»
• B : «la carte tirée est un valet.»
• C : «la carte tirée est une figure.»
• D : «La carte tirée est un cœur.»
• E : «La carte tirée est une figure ou un pique.»

À l'époque de Recorde, il n'existait de notation (ni de mot) pour désigner les puissances d'un nombre mises à part la puissance 2 (carré) et la puissance 3 (cube). Il propose une notation pour nommer la puissance d'un nombre en fonction de sa décomposition en facteurs premiers et décide qu'un nombre premier supérieur à 3 est un sursolid.

Notation actuelle	Notation de Recorde	Lecture de Recorde
$x^2$	$z$	zenzic
$x^3$	$\&$	cubic
$x^4 = (x^2)^2$	$zz$	Zenzizenzic
$x^5$	$\int z$	First sursolid
$x^6 = (x^2)^3$	$z\&$	Zenzicubic
$x^7$	$B\int z$	Second sursolid
$x^8 = ((x^2)^2)^2$	$zzz$	Zenzizenzizenzic
$x^9 = (x^3)^3$	$\&\&$	Cubicubic
$x^{10} = (x^5)^2$	$z\int z$	Square of first sursolid
$x^{11}$	$C\int z$	Third sursolid

Remarque : la graphie des symboles utilisés par Recorde a été siplifiée

source : Wikipedia

1. Décomposer 12 en produit de facteurs premiers, en déduire la notation de Recorde pour $x^{12}$ et le nom donné à cette puissance.
2. Décomposer 15 en produit de facteurs premiers, en déduire la notation de Recorde pour $x^{15}$ et le nom donné à cette puissance.
3. Décomposer 16 en produit de facteurs premiers, en déduire la notation de Recorde pour $x^{16}$ et le nom donné à cette puissance.
Donner la notation de Recorde pour $x^{17}$.

La boîte à moustache

Un professeur enregistre les notes (sur 20) de ses 12 élèves après un test. Voici les résultats : 5; 7; 8; 10; 12; 13; 14; 15; 16; 18; 19; 20

1. Calculez la médiane.
2. Déterminez le premier quartile et le troisième quartile.
3. Calculez l’écart interquartile.
4. Identifiez la moyenne.