En bas de cette page, les exercices que vous avez inventés pour chaque mathématicien présenté :
Les exercices à partir de ceux que vous avez crées
Calculs de pourcentages
- Calculer 40% de 75 €.
- Des chaussures à 25 € sont soldées à «- 30 %» : calculer leur nouveau prix.
- par définition 40 % de 75 c'est $\dfrac{40}{100} \times 75 = 30$ donc 30 €
On peut commencer par calculer la réduction : 30 % de 25 ; $\dfrac{30}{100} \times 25 = 7,5$
puis calculer le nouveau prix : $25 - 7,5 = 17,5$ ; donc le nouveau prix est 17,5 €
Aire d'un triangle connaissant les longueurs des côtés
Le demi périmètre est $p = \dfrac{a + b + c}2$ avec $a$, $b$ et $c$ les côtés du triangle et l'aire $\mathscr A$ est donnée par la formule :
\[ \mathscr A = \sqrt{p (p-a)(p-b)(p-c)}\]
Calculer l'aire d'un triangle dont les mesures des côtés en cm sont : $a=3$ ; $b=6,64$ et $c=7,08$.
- $p=\dfrac{3 + 6,64+ 7,08}{2} = 8,36$
- $\mathscr A = \sqrt{8,36 (8,36-3) (8,36-6,64) (8,36 - 7,08)} \approx 10$
- L'aire du triangle est d'environ $10\,\text{cm}^2$
Pour calculer des produits de tête, on peut utiliser la distributivité.
Exemple : soit à calculer $P = 5670 \times 760$ on peut écrire :
$\begin{array}{rl} P &= 5\,670 \times 760 \\ P &= (5\,000 + 600 + 70) \times (700 + 60)\\ P &= 5\,000 \times 700 + 600 \times 700 + 70 \times 700 + 5\,000 \times 60 + 600 \times 60 + 70 \times 60\\ P &= 3\,500\,000 + 420\,000 + 49\,000 + 300\,000 + 36\,000 + 4\,200\\ P &= 4\,309\,200 \end{array}$Chronométrez-vous pour calculer de tête :
- $4\,309 \times 79$ et prendre son premier chiffre : c'est le chiffre des centaines du nombre mystère.
- $120 \times 78$ et prendre son deuxième chiffre : c'est le chiffre des dizaines du nombre mystère.
- $912 \times 1\,002$ et prendre son troisième chiffre : c'est le chiffre des unités du nombre mystère.
Donner le nombre mystère.
- $4\,309 \times 79 = (4\,000 + 300 + 9) \times (70 + 9)$
- $120 \times 78 = (100 + 20) \times (70 + 8)$
- $912 \times 1\,002 = (900 + 10 + 2) \times (1\,000 + 2)$
le théorème des quatre carrés
tout entier peut s'écrire comme la somme de quatre entiers (éventuellement nuls) au carrés
exemples
- $32 = 4^2 + 4^2 + 0^2 + 0^2$
- $33 = 4^2 + 4^2 + 1^2 + 0^2 = 4^2 + 3^2 + 2^2 + 2^2$
- $34 = 4^2 + 4^2 + 1^2 + 1^2$
- $35 = 4^2 + 3^2 + 3^2 + 1^2$
Donner une décomposition sous forme de somme de quatre carrés de 36 ; 37 et 38.
Des radicaux imbriqués (ou radicaux emboîtés) sont des expressions contenant des racines d'expressions contenant elles-mêmes des racines.
Par exemple : $\sqrt{3 + \sqrt8}$ ; $\sqrt{5 - \sqrt{24}}$ ; $\sqrt{2 + \sqrt3}$.
Dans certains cas, on peut simplifier l'expression
- $\sqrt{3 + \sqrt8} = 1 + \sqrt2$
- $\sqrt{5 - \sqrt{24}} = \sqrt3 - \sqrt2$
- $\sqrt{2 + \sqrt3} = \sqrt{\dfrac32} + \sqrt{\dfrac12}$
La gravitation est une force qui attire les objets les uns vers les autres. Par exemple, c'est elle qui fait tomber les objets au sol et qui maintient les planètes en orbite autour du Soleil.
Plus les objets sont massifs et proches, plus cette attraction est forte.
Formule : $F_{1/2} = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{d^2}$
- $F$ est la force d'attraction gravitationnelle entre les deux objets
- $G$ est la constante de gravitation universelle, qui vaut environ $G \approx 6,67 \times 10^{-11}\,\text{m}^{3} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$
- $m_1$ et $m_2$ sont les masses des deux objets.
- $d$ est la distance entre les centres des deux masses.
Déterminer la force d'attraction entre la pomme de Newton et la Terre, sachant que la masse de la Terre $(m_1)$ est d'environ $6 \times 10^{24}\, \text{kg}$, celle de la pomme $(m_2)$ est $300\, \text{g}$ et que la pomme est à $5 \,\text{m}$ du sol.
Deux objets de masse 4 kg et 6 kg sont séparés par une distance de 2 m. Combien vaut la force gravitationnelle entre ces deux objets ?
Cette spirale se base sur la suite de Fibonacci. Dans cette suite chaque nombre est égal à la somme des deux nombres d'avant : ils se définissent par la formule :
\[ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\]Par exemple, nos deux premiers nombres, notés $F_0$ et $F_1$, sont tout les deux égal à 1. Notre troisième nombre, $F_2$, est donc égal à 2, car
$F_2=F_{2-1}+F_{2-2} \Leftrightarrow F_1+F_0 \Leftrightarrow 1+1=2$
Les carrés sous les lettres AWM suivent la formule de la suite de Fibonacci par la longueur de leurs côtés. En partant du plus petit au plus grand, le premier carré a $F_0$ de côté (soit 1), le deuxième $F_1$ (soit 1), le troisième $F_2$ (soit 2), et ainsi de suite. Et la spirale est constituée de quarts de cercle, dont le centre est un sommet du carré et le rayon la longueur d'un de ses côtés.
À partir de cette suite, nous pouvons approximativement trouver ce qu'on appelle le nombre d'or, ou divine proportion.
Ce nombre, noté $\varphi$ est égal à $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,618...$
- Calculer les quotients : $\dfrac{F_1}{F_0}$ ; $\dfrac{F_2}{F_2}$ ; $\dfrac{F_3}{F_3}$ ... $\dfrac{F_{10}}{F_9}$. Que remarquez vous ?
- À l'aide d'un tableur : calculer les 100 premiers termes de la suite de Fibonacci, puis calculer les rapports de deux termes consécutifs :émettre une conjecture en relation avec le nombre d'or.
Exercice de probabilités
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Déterminer la probabilité des événements suivants, sachant que chaque carte a la même probabilité d'être choisie :
- A : «la carte tirée est le valet de trèfle.»
- B : «la carte tirée est un valet.»
- C : «la carte tirée est une figure.»
- D : «La carte tirée est un cœur.»
- E : «La carte tirée est une figure ou un pique.»
- $p(A) = \dfrac{1}{32}$
- $p(B) = \dfrac{4}{32}= \dfrac{1}{8}$
- $p(C) = \dfrac{12}{32}= \dfrac{3}{8}$
- $p(D) = \dfrac{8}{32}= \dfrac{1}{4}$
- $p(E) = \dfrac{3 \times 4}{32} + \dfrac8{32} - \dfrac3{32} = \dfrac{17}{32}$
L'art des nombres cossiques dans the Whetstone of Witte
Par Robert Recorde.
source : Wikipedia
À l'époque de Recorde, il n'existait de notation (ni de mot) pour désigner les puissances d'un nombre mises à part la puissance 2 (carré) et la puissance 3 (cube). Il propose une notation pour nommer la puissance d'un nombre en fonction de sa décomposition en facteurs premiers et décide qu'un nombre premier supérieur à 3 est un sursolid.
| Notation actuelle | Notation de Recorde | Lecture de Recorde |
|---|---|---|
| $x^2$ | $z$ | zenzic |
| $x^3$ | $\&$ | cubic |
| $x^4 = (x^2)^2$ | $zz$ | Zenzizenzic |
| $x^5$ | $\int z$ | First sursolid |
| $x^6 = (x^2)^3$ | $z\&$ | Zenzicubic |
| $x^7$ | $B\int z$ | Second sursolid |
| $x^8 = ((x^2)^2)^2$ | $zzz$ | Zenzizenzizenzic |
| $x^9 = (x^3)^3$ | $\&\&$ | Cubicubic |
| $x^{10} = (x^5)^2$ | $z\int z$ | Square of first sursolid |
| $x^{11}$ | $C\int z$ | Third sursolid |
Remarque : la graphie des symboles utilisés par Recorde a été siplifiée
source : Wikipedia
- Décomposer 12 en produit de facteurs premiers, en déduire la notation de Recorde pour $x^{12}$ et le nom donné à cette puissance.
- Décomposer 15 en produit de facteurs premiers, en déduire la notation de Recorde pour $x^{15}$ et le nom donné à cette puissance.
- Décomposer 16 en produit de facteurs premiers, en déduire la notation de Recorde pour $x^{16}$ et le nom donné à cette puissance. Donner la notation de Recorde pour $x^{17}$.
- $12 = 2 \times 2 \times 3$, donc $x^{12} = ((x^2)^2)^3$ il s'écrit $zz\&$ et se nomme zenzizenzicubic.
- $15 = 5 \times 3$, donc $x^{15} = (x^5)^3$ s'écrit $\int z \&$ et se nomme cubic of fisrt sursolid.
- $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2$, donc $x^{16} = (((x^2)^2)^2)^2$ s'écrit $zzzz$ et se nomme zenzizenzizenzizenzic 17 est le cinquième nombre premier à partir de 5, donc $x^{17}$ s'écrit $E\int z$ et se nomme fifth sursolid.
La boîte à moustache
Un professeur enregistre les notes (sur 20) de ses 12 élèves après un test. Voici les résultats : 5; 7; 8; 10; 12; 13; 14; 15; 16; 18; 19; 20
- Calculez la médiane.
- Déterminez le premier quartile et le troisième quartile.
- Calculez l’écart interquartile.
- Identifiez la moyenne.
Mediane : il y a 12 notes, donc la médiane est la valeur comprise entre la 6ième et la 7ième :
$\underbrace{5; 7; 8; 10; 12; 13}_{6 \text{ notes}}; \underbrace{14; 15; 16; 18; 19; 20}_{6 \text{ notes}}$
$M = \dfrac{14 + 13}{2} = 13,5$
premier quartile : la valeur de 3ieme note (8); troisième quartile : la neuvième valeur qui est 16
l'écart interquartile : $16-8=8$
- moyenne de la série : $\overline{x} = \dfrac{5+7+8+10+12+13+14+15+16+18+19+20}{12} =13,08$