\documentclass[10pt,onecolumn]{article}
%% charger d'abord les packages par thèmes si possible
%% puis définir les commandes
%%
\usepackage[a5paper, portrait, left=1cm, right=1cm, top=1cm, bottom=1cm,%
	includehead, includefoot, asymmetric]{geometry} 
	%asymmetric pour les en-têtes pairs / impairs
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier-orns} %fourier a des commandes communes avec KpFonts
\usepackage[light, frenchstyle]{kpfonts} %ordre de chargement des polices

\usepackage{xspace}
\usepackage[shortlabels,inline]{enumitem}
%\usepackage[table,dvips]{xcolor} => colortbl
\usepackage{tabularx}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[nobottomtitles, bf, sf]{titlesec}  % pour la mise en forme des titres
\usepackage{lastpage}
\usepackage{pst-tree,pstricks-add} %pst-plot déjà chargé
\usepackage{embedfile}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[crop=off]{auto-pst-pdf}

\embedfile{\jobname.tex}

%tapuscrit Jean-Claude Souque

% dans la mesure du possible, utiliser des commandes étoilées
% cela signifie qu'elles ne produisent jamais de boîte "en hauteur"
% une erreur sera plus vite détectée 
% grouper les commandes par thème 
% éviter les commnades TeX comme \def : cela écrase la commande si
% elle existe déjà => \newcommand vérifie si le nom est déjà défini.
%\newcommand{\euro}{\eurologo{}}

\newcommand*{\euro}{\eurologo{}}
%\usepackage{pst-tree,pstricks-add} %pst-plot déjà chargé
%\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
%\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
%\newcommand{\D}{\mathbb{D}}%commande définie dans Kpfonts
%\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
%\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
%\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} 
%\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} 
%\newcommand\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
%\newcommand\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
%\newcommand\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\newcommand{\e}{\text{e}}

% commenter ou non cette ligne pour voir l'effet sur les n° des listes
\setlist[enumerate]{font=\sffamily\bfseries, leftmargin=*, itemsep=.25ex} 
\renewcommand*{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand*{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand*{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand*{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}} %) au lieu de .
\setlength\parindent{0mm} 
% à mettre avec les maths 
%\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
%\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
%\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

% à mettre avec les packages
%\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STMG},
pdftitle = {Pondichéry- 7 mai 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
%\usepackage[np]{numprint} => avec les packages
\renewcommand*\arraystretch{1.15}
% \newcommand{\e}{\text{e}} 
\frenchbsetup{StandardLists=true} % => pour des listes qui par défaut ne 
% commencent pas par des tirets

\titleformat{\section}
	{\sffamily \bfseries \large }  %le titre
	{Exercice \arabic{section}.} %le label et le n°
	{1ex}
	{\titlerule[0pt]}
\titlespacing{\section}{0pt}{*3}{*1.5}
\titleformat{\subsection}
	{\sffamily \bfseries}
	{\bfseries{Partie \Alph{subsection}}} 
	{1ex}
	{}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{*1}{*0.5}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\setlength\parindent{0mm} => avec les commandes de mise en forme générale
\fancyhead{}
\fancyhead[RE]{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\fancyhead[LO]{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\fancyfoot{}
\lfoot{\small{Pondichéry}} \cfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\rfoot{\small{7 mai 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
	\Large \textbf{\decofourleft%
		~Baccalauréat STMG  Pondichéry 7 mai 2018~%
	\decofourright}
\end{center}


\section{(5 points)}   

Le tableau suivant donne le nombre d’abonnements à internet en très haut débit en France du premier trimestre 2015 au quatrième trimestre 2016.


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Trimestre & T1 & T2 & T3 & T4 & T1 & T2 & T3 & T4\\
 & 2015 & 2015 & 2015 & 2015 & 2016 & 2016 & 2016 & 2016\\\hline
Rang du trimestre $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\\hline
Abonnements $y_i$ {(en millions)}
 & $\np{3,56}$ & $\np{3,63}$ & $\np{3,88}$ & $\np{4,3}$ & $\np{4,5}$
 & $\np{4,77}$ & $\np{5,04}$ & $\np{5,43}$  \\\hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source : Arcep}} 
\end{tabularx}
\end{center}


\subsection{Modèle 1}

\begin{enumerate}
\item
	À l’aide de la calculatrice, donner, pour cette série statistique, une
	équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode
	des moindres carrés.

	\emph{On arrondira les coefficients au millième.}
	
\item
	On décide de modéliser l’évolution du nombre d’abonnements $y$ en fonction
	du rang $x$ du trimestre par l’expression : 
	\[y=\np{0,27} x+ \np{3,16}\]

	Sur la base de ce modèle, calculer le nombre d’abonnements prévu au
	deuxième trimestre de l’année 2018.
\end{enumerate}


\subsection{Modèle 2}

Les données du tableau et celles publiées depuis permettent d’envisager que le
nombre d’abonnements à internet en très haut débit en France pourrait
continuer à augmenter de 6\,\% chaque trimestre, à partir de la fin de l’année
2016. 

On note $u_n$ le nombre d’abonnements, en millions, à internet en très haut débit en France au bout de $n$ trimestres. Ainsi $u_0=\np{5,43}$.

\begin{enumerate}
\item
	Vérifier en détaillant le calcul que $u_1 \approx \np{5,76}$
	(\emph{valeur arrondie au centième}).

\item
	Quelle est la nature de la suite ? Donner sa raison.

\item
	Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

\item
	L’actualisation des données a révélé qu’au deuxième trimestre de 2017, le
	nombre d’abonnements s’élevait en réalité à $\np{6,15}$ millions. 
	Des deux modèles 1 et 2, lequel semble le plus adapté ?
	
\item
	L’algorithme ci-dessous est destiné à estimer le nombre de trimestres
	nécessaires pour qu’au moins 10~millions de foyers soient connectés en
	très haut débit à internet.

	\begin{center}
	\begin{tabular}[]{|l|}
		\hline
		$n\leftarrow 0$\\
		$u \leftarrow 5,43$\\
		Tant que $u<10$\\
		\hspace{3em}$u\leftarrow u\times 1,06$\\
		\hspace{3em}$n\leftarrow n+1$\\
		Fin Tant que\\
		\hline
	\end{tabular}
	\end{center}

	Quelle est la valeur de la variable  $n$ à la fin de l’exécution de
	l’algorithme ?
\end{enumerate}




\section{(4 points)}

Une agence de voyage a effectué un sondage auprès de ses clients pendant la période estivale.

Le sondage est effectué sur l’ensemble des clients. Ce sondage montre que :

\begin{itemize}
\item $38\,\%$ des clients voyagent en France ;
\item $83\,\%$ des clients voyageant en France sont satisfaits ;
\item $78\,\%$ des clients voyageant à l’étranger sont satisfaits.
\end{itemize}

On interroge un client au hasard. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $F$ : \og le client a voyagé en France \fg;
\item $E$ : \og le client a voyagé à l’étranger \fg ;
\item $S$ : \og le client est satisfait du voyage \fg.
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item
	Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.

	\begin{center}
	\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
	\pstree[treemode=R]{\TR{}}
	{\pstree{\TR{$F$~}\taput{$\dots$}}
		{
		\TR{$S$}\taput{$\dots$}
		\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$}
		}
	\pstree{\TR{$E$~}\tbput{$\dots$}}
		{\TR{$S$}\taput{$\dots$}
		\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$}
		}
	}
	\end{center} 

\item
	Définir par une phrase l'événement $E\cap S$ et calculer sa probabilité.
	
\item
	Montrer que $P(S)=\np{0,799}$ .

\item 
	Sachant que le client est satisfait, quelle est la probabilité qu’il ait
	voyagé à l’étranger ?

	\emph{On arrondira pour cette question le résultat au millième.}
\end{enumerate}



\section{(3 points)}
On s’intéresse à l’évolution du prix d’une matière première en euros par tonne depuis 2011.
Le tableau ci-dessous donne le prix de cette matière première entre 2011 et 2016 avec $100$ pour indice de base en 2011.

Dans ce tableau certaines données sont manquantes.

\begin{center}
%la \rule : barre de longueur 0pt et de hauteur .8cm au dessus de la ligne
% de texte, baissée de .3cm
\begin{tabular}{|>{\rule[-.3cm]{0pt}{.8cm}\columncolor{lightgray}}c|m{2.9cm}|*{6}{c|}}
\hline
\rowcolor{lightgray}
&\centering {A}& B & C & D & E & F & G\\\hline
1& Année & 2011& 2012& 2013& 2014& 2015 &2016\\\hline
2& Prix en \euro/tonne & $248$ & $\np{188,5}$ & $237$ & 
	& $\np{167,5}$ & $189$ \\\hline
% revoir cette ligne !!	
3& \parbox{\hsize}{Indice du prix\\ (base $100$ en 2011)}		
	&$100$ & $76$ & $\np{95,6}$ & $\np{73,2}$ & $\np{67,5}$ & \\\hline
\end{tabular}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item
	 Déterminer le taux d’évolution du prix entre 2015 et 2016.

	\emph{On arrondira à $\np{0,01}\,\%$}.
	
\item
	Calculer le prix en euros par tonne en 2014.

	\emph{On arrondira au dixième.}

\item
	Calculer l’indice du prix en 2016.

	\emph{On arrondira au dixième.}
	
\item
	Quelle formule a-t-on entrée  dans la cellule C3 pour obtenir par recopie
	vers la droite les indices du prix ?
	
\item
	Montrer que le taux d’évolution annuel moyen, arrondi à $\np{0,01}\,\%$,
	entre 2011 et 2016 est $\np{-5,29}\,\%$.
\end{enumerate}



\section{(7 points)}
\textbf{\large Les parties A et B sont indépendantes.}

\subsection{}

Pour la fabrication de machines agricoles, une usine reçoit en grande quantité 
des plaques métalliques carrées. Elles ne peuvent être utilisées dans le
processus de fabrication que si la longueur de leurs côtés et leur épaisseur 
respectent certains critères.

\begin{enumerate}
\item
	Un premier test permet de vérifier la longueur des côtés de chaque plaque.
	Une plaque réussit ce test si la longueur de ses côtés est comprise entre
	$\np{81,6}$ centimètres et $\np{82,4}$ centimètres.

	On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque prélevée au hasard,
	associe la longueur de son côté, en centimètres.

	On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance
	$82$ et d'écart-type~$\np{0,2}$.
	% ~pour espace inécable

	Déterminer la probabilité, arrondie au millième, qu’une plaque réussisse
	ce premier test.
	
\item
	Les plaques ayant réussi le premier test subissent un second test
	permettant de vérifier leur épaisseur. Une plaque sera utilisable par 
	l'usine si son épaisseur est inférieure à 3 millimètres.

	Le fournisseur affirme que $90\,\%$ des plaques qui subiront ce second
	test ont une épaisseur inférieure à $3$~millimètres.
 
	On effectue le second test sur un lot de $\np{2500}$ plaques.
	
	\begin{enumerate}
	\item
		Déterminer l'intervalle de fluctuation, à au moins $95\,\%$,
		de la fréquence des plaques dont l’épaisseur est inférieure à
		$3$ millimètres, dans ce lot.

	\item
		Parmi les $\np{2 500}$ plaques, $\np{2 274}$ ont réussi le second
		test. Au regard de ces résultats, doit-on accepter l'affirmation du
		fournisseur ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{}
Cette usine peut produire en un mois entre $0$ et $50$ machines agricoles.

On a modélisé le bénéfice de l'entreprise, exprimé en milliers d’euros,
par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0\,;\,50]$ par :
\[f(x)=x^3 - 96x^2+ \np{2484}x- \np{10 000}\]

On dit que l’entreprise réalise des profits si son bénéfice est strictement
positif.

On a tracé la représentation graphique de cette fonction $f$.

\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0006cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-11000)(50,10500)
\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-11000)(\n,10000)}
\multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)}
\multido{\n=-11000+1000}{22}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(50,\n) \uput[l](0,\n){\scriptsize \np{\n}}}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=5,Dy=12000,]{->}(0,0)(0,-11000)(52,10500)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{50}{x 96 sub x mul  2484 add x mul 10000 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	Par lecture graphique, donner sous forme d’intervalle, le nombre de
	machines agricoles que doit produire l’entreprise pour réaliser des
	profits.

\item
	On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.
	
\item
	Résoudre l'équation : $3x^2-192x+\np{2 484}=0$.
	
\item
	Recopier et compléter le tableau de variations ci-dessous :

	\begin{center}
	\psset{unit=1cm}
	\begin{pspicture}(15,3.15)
	\psframe(12,3)
	 \psline(0,1)(12,1)\psline(0,2)(12,2)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
	\uput[u](1.75,2.15){$x$} \uput[u](3.7,2.15){$0$}\uput[u](11.7,2.15){$50$}\uput[u](6.4,2.15){$\dots$}\uput[u](9.1,2.15){$\dots$}
	\uput[ur](0.8,1.15){Signe de $f'(x)$}\uput[ur](0.8,0.15){Variations de $f$}
	\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1)(6.4,2)\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](9.1,1)(9.1,2)
	\uput[u](6.4,1.15){$0$} \uput[u](9.1,1.15){$0$}
	\end{pspicture}
	\end{center}
	
\item
	À l'aide des questions précédentes, donner le nombre de machines à
	fabriquer pour que le bénéfice soit maximal, puis calculer ce bénéfice
	maximal.
\end{enumerate}

\end{document}