Frédéric Léon -- MATHS -- E. Brontë

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\( \def\e{{\text{e}}} \)

p.181 n° 2

Corrigé en classe

p.191 n° 42

Corrigé en classe

p.191 n° 43

Développer des expressions contenant des exponentielles.
  1. Aide
    \( \e^a \times \e^b = \e^{a + b} \)
    Solution
    \(A = \e^x \left( \e^x + 5 \right) \\ \Leftrightarrow A = \e^x \times \e^x + 5 \e^x \\ \Leftrightarrow A = \e^{2x}+ 5 \e^x \)
  2. Aide
    \( \e^a \times \e^b = \e^{a + b} \) et \( \e^0 = 1\)
    Solution
    \(B = \e^{-x}\left(\e^x - 2\right) \\ \Leftrightarrow B = \e^{-x}\times\e^x - 2 \e^{-x} \\ \Leftrightarrow B = \e^{-x+x} - 2 \e^{-x} \\ \Leftrightarrow B = \e^{0} - 2 \e^{-x} \\ \Leftrightarrow B = 1 - 2 \e^{-x} \\ \)
  3. Solution
    \(C = \e^{2x}\left( \e^x - \e^{-x}\right)\\ \Leftrightarrow C = \e^{2x}\times \e^x - \e^{2x} \times \e^{-x} \\ \Leftrightarrow C = \e^{2x + x} - \e^{2x - x} \\ \Leftrightarrow C = \e^{3x} - \e^{x} \\ \)

p.191 n° 45

  1. Aide
    identité remarquable \( (a - b)^2 \)
    Solution
    \(A = \left( \e^x - 2 \right)^2 \\ \Leftrightarrow A = \left( \e^x \right)^2 - 2 \times 2 \times \e^x + 4 \\ \Leftrightarrow A = \e^{2x} - 4 \e^x +4\)
  2. Aide
    identité remarquable \( (a + b)^2 \)
    Solution
    \(B = \left( \e^x + 1 \right)^2 \\ \Leftrightarrow B = \left( \e^x \right)^2 + 2 \times 1 \times \e^x + 1 \\ \Leftrightarrow B = \e^{2x} +2 \e^x + 1\)
  3. Aide
    identité remarquable
    Solution
    \(C = \left( \e^x - 3 \right)\left( \e^x + 3 \right) \\ \Leftrightarrow C = \left( \e^x \right)^2 - 9 \\ \Leftrightarrow A = \e^{2x} - 9\)

p.193 n° 68

Aide
  • vérifier la valeur qui annule la fonction affine
  • vérifier le signe de l'exponentielle
Solution

Quelque soit \( X \in \mathbb{R} : \e^X > 0\), donc si \(X = -x : \e^{-x} > 0 \)

\(\begin{array}{|l|lcccr|} \hline x & -\infty & & \frac12 & & +\infty \\ \hline \text{signe de } -2x + 1 & & + & 0 & - & \\ \hline \text{signe de } \e^{-x} & & + & | & + & \\ \hline \text{signe de } f(x) & & + & 0 & - & \\ \hline \end{array} \)

p.193 n° 69

étude de signes
  1. questions 1, 2, et 3
    Aide
    • vérifier le signe de la fonction affine
    • vérifier le signe de l'exponentielle
    Solution 1
    \(\begin{array}{|l|lcccr|} \hline x & -\infty & & 3 & & +\infty \\ \hline \text{signe de } x - 3 & & - & 0 & + & \\ \hline \text{signe de } \e^x & & + & | & + & \\ \hline \text{signe de } f(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} \)
    Solution 2
    \(\begin{array}{|l|lcccr|} \hline x & -\infty & & \frac54 & & +\infty \\ \hline \text{signe de } -4x + 5 & & + & 0 & - & \\ \hline \text{signe de } \e^{-x} & & + & | & + & \\ \hline \text{signe de } f(x) & & + & 0 & - & \\ \hline \end{array} \)
    Solution 3
    \(\begin{array}{|l|lcccr|} \hline x & -\infty & & -4 & & +\infty \\ \hline \text{signe de } x + 4 & & - & 0 & + & \\ \hline \text{signe de } \e^{2x} & & + & | & + & \\ \hline \text{signe de } f(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} \)
  2. question 4
    Aide 4
    • vérifier le signe du polynôme du second degré
    • vérifier le signe de l'exponentielle
    Solution 4

    \(x^2 + x - 6\) admet une racine évidente : \(2\) ; le produit des racines vaut \(-6\) ; donc l'autre racine est \(-3\). Comme le coefficient de \(x^2\) est positif, la parabole est orientée vers le haut

    \(\begin{array}{|l|lcccr|} \hline x & -\infty & & -3 & & 2 & & +\infty \\ \hline \text{signe de } x^2 + x - 6 & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \text{signe de } \e^x & & + & | & + & | & + & \\ \hline \text{signe de } f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} \)

p.194 n° 88

équations avec exponentielle

Aide
  • factoriser et utiliser la règle du produit nul.
  • pour tout \(x \in \mathbb{R} : \e^x > 0\)
Solution
Corrigé dans le livre

p.194 n° 89

équations avec des quotients

  1. Aide
    une fraction est nulle si le numérateur est nul.
    Solution
    \(\dfrac{-4x + 1}{\e^x} = 0 \\ \Leftrightarrow -4x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x = \dfrac14 \)
  2. Solution
    \(\dfrac{\e^x - 1}{\e^x + 1} = 0 \\ \Leftrightarrow \e^x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow \e^x = 1 \\ \Leftrightarrow x = 0 \)
  3. Aide
    comparer à 0
    Solution
    \(\dfrac{5\e^x - 3}{\e^x + 1} = 1 \\ \Leftrightarrow \dfrac{5\e^x - 3}{\e^x + 1} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{5\e^x - 3}{\e^x + 1} - \dfrac{\e^x + 1}{\e^x + 1} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{5\e^x - 3 - \left( \e^x + 1 \right)}{\e^x + 1} = 0\\ \Leftrightarrow 5\e^x - 3 - \e^x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4\e^x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( \e^x - 1\right) = 0\\ \Leftrightarrow \e^x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \e^x = 1 \\ \Leftrightarrow x = 0 \)

p.194 n° 91

changement de variables
Aide 1
en posant \(X = \e^x\), l'équation est équivalente à : \(\left\lbrace \begin{array}{l} X^2 + 3X - 4 = 0 \\ X > 0 \end{array} \right.\)
Solution 1

\(\e^{2x} + 3\e^x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( \e^x\right)^2 + 3\e^x - 4 = 0\)

En posant \(X = \e^x\), l'équation est équivalente à \(\left\lbrace \begin{array}{l} X^2 + 3X - 4 = 0 \\ X > 0 \end{array} \right.\)

\( X^2 + 3X - 4 = 0\) admet comme racines évidentes \(X = 1\) et \(X = -4\).

Or \(X>0\), donc on garde que la solution \(X = 1\)

\(X = 1 \Leftrightarrow \e^x = 1 \Leftrightarrow \e^x = \e^0 \Leftrightarrow x = 0\) ; l'équation admet un unique solution \(x = 0\)

Solution 2

\(\e^{2x} + 4\e^x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( \e^x\right)^2 + 4\e^x + 3 = 0\)

En posant \(X = \e^x\), l'équation est équivalente à \(\left\lbrace \begin{array}{l} X^2 + 4X + 3 = 0 \\ X > 0 \end{array} \right.\)

\( X^2 + 4X + 3 = 0\) admet comme racines évidentes \(X = -1\) et \(X = -3\).

Or \(X>0\), donc l'équation \(\e^{2x} + 4\e^x + 3 = 0\) n'admet pas solution.

p.196 n° 100

Comparer des exponentielles.
Aide
cours : \( \e^a < \e^b \Leftrightarrow a < b \)
Solution 1
\( \e^{-5x} < \e^{6x + 3} \\ \Leftrightarrow -5x < 6x + 3 \\ \Leftrightarrow -11x < 3 \\ \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{11} \\ \) donc \(x \in \left] \dfrac{3}{11} \,; +\infty \right[\)
Solution 2
\( \e^{7x - 1} \geqslant \e^{3x} \\ \Leftrightarrow 7x-1 \geqslant 3x \\ \Leftrightarrow 4x \geqslant 1 \\ \Leftrightarrow x \geqslant \dfrac{1}{4} \\ \) donc \(x \in \left[ \dfrac{1}{4} \,; +\infty \right[\)

p.197 n° 110

Tangente à la courbe / étude de fonction / inégalité
  1. Aide
    • équation de la tangente : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)
    • dérivée de la fonction exponentielle
    Solution
    \( x \mapsto \e^x \) a pour dérivée \( x \mapsto \e^x \) ; donc pour \(a = 0\) : \(y = \e^0 \times (x - 0) + \e^0 = 1 \times x + 1 = x + 1\)
    1. Aide
      • la dérivée de la fonction exponentielle est elle même.
      • il faut trouver le signe de la fonction dérivée.
      Solution

      \( f(x) = \e^x - x - 1 \), donc \(f'(x) = \e^x - 1\)

      \(f'(x) > 0 \Leftrightarrow \e^x - 1 > 0 \\ \Leftrightarrow \e^x > 1 \Leftrightarrow \e^x > \e^0\\ \Leftrightarrow x > 0\)

      \(\begin{array}{|l|ccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline \text{signe de } f'(x) & & - & 0 & + & \\ \text{variations de } f & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & 0 & & \\ \hline \end{array} \)

      \(f(0) = \e^0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0 \)

    2. Solution
      Le minimum est atteint pour \(x=0\) et il vaut 0.
    3. Solution
      Par lecture du tableau de variations, la fonction est toujours supérieure ou égale à 0.
    1. Aide
      Utiliser le résultat 2c)
      Solution

      On sait que \( f(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow \e^x - x - 1 \geqslant 0 \\ \Leftrightarrow \e^x \geqslant x + 1\)

    2. Aide
      Chaque membre de l'inéquation peut être représenté par une fonction.
      Solution
      La courbe représentant la fonction \(x \mapsto \e^x\) est au dessus de celle représentant la fonction \(x \mapsto x + 1\) ; ce qui signifie que la fonction exponentielle est toujours au dessus de sa tangente en 0.

p.193 n° 78

étude de fonction
  1. Aide
    • dérivée de la fonction \(x \mapsto \e^{ax + b}\)
    • pour vérifier une factorisation, on peut développer l' expression donnée
    Solution

    \( x \mapsto \e^{2x} \) est la forme \( x \mapsto \e^{ax + b} \) avec \(a = 2\) et \(b= 0\), donc sa dérivée est \(x \mapsto 2 \e^{2x}\)

    On en déduit la dérivée de la fonction : \(f'(x) = 2 \e^{2x} + 4\e^x - 6\)

    Posons \(A = 2\left(\e^x - 1\right)\left(\e^x + 3\right)\)

    \(A = 2 \left( \e^x \times \e^x + 3\e^x - \e^x - 3\right)\\ \Leftrightarrow A = 2 \left( \e^{2x} + 2 \e^x - 3\right)\\ \Leftrightarrow A = 2 \e^{2x} + 4\e^x - 6\)

    Donc \(f'(x) = 2\left(\e^x - 1\right)\left(\e^x + 3\right)\)

  2. Aide
    Faire un tableau de signes.
    Solution

    \( \e^x - 1 > 0 \Leftrightarrow \e^x > 1 \Leftrightarrow \e^x > \e^0 \Leftrightarrow x > 0\)

    on sait que \(\e^x > 0 \) donc \(\e^x + 3 > 3 > 0\)

    d'où le tableau de signes

    \(\begin{array}{|l|ccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & &+\infty \\ \hline \text{signe de } \e^x - 1 & & - & 0 & + & \\\hline \text{signe de } \e^x + 3 & & + & | & + & \\\hline \text{signe de } f'(x) & & - & 0 & + & \\\hline \end{array} \)

  3. tableau de variations
    Solution

    \(\begin{array}{|l|ccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & &+\infty \\ \hline \text{signe de } f'(x) & & - & 0 & + & \\\hline \text{variations de } f & & \searrow & & \nearrow \\ & & &5 & \\\hline \end{array} \)

    \(f(0) = \e^{2 \times 0} + 4 \e^0 - 6 \times 0 = \e^0 + 4 \times 1 = 5\)

p.197 n° 117

Commencé en classe... et je fatigue ;-)