- p.158 nº59
- p.163 nº108
- p.158 nº60
- p.158 nº63
- p.164 nº115
- p.149 nº11
- p.158 nº68
- p.164 nº117
- p.150 nº14
- p.165 nº119
p.158 nº59
\(u\) est une suite arithmétique de raison \(r\).-
\(u_0 = -1\) et \(r=4\). Calculer \(u_5\) puis \(u_{10}\).Aidepar définition \(u_n = u_0 + rn\), donc \(u_5 = u_0 + r \times 5\)Solution\(u_n = -1 + 4n\), donc \(u_5 = -1 + 4 \times 5 = 19\) et \(u_{10} = -1 + 4\times 10 = 39\)
-
\(u_{12}=9\) et \(r = \dfrac{1}{3}\). Calculer \(u_0\) puis \(u_{6}\).Aidepar définition \(u_n = u_0 + rn\), donc \(u_{12} = u_0 + r \times 12 \Leftrightarrow 9 = u_0 + 12 \times \dfrac13 \)Solution
- \( 9 = u_0 + 12 \times \dfrac13 \Leftrightarrow 9 = u_0 + 4 \Leftrightarrow u_0 = 5\)
- \( u_6 = u_0 + 6 r = 5 + 6 \times \dfrac13 = 7\)
-
\(u_{0}=1\) et \(u{10} = 31\). Calculer \(r\) puis \(u_{2018}\).Aidepar définition \(u_n = u_0 + rn\), donc \(u_{10} = u_0 + r \times 10\)Solution
- \(u_{10} = u_0 + r \times 10 \Leftrightarrow 31 = 1 + 10 r \Leftrightarrow r = 3\)
- \( u_{2018} = u_0 + 2018 r = 1 + 2018 \times 3 = 6055\)
-
\(u_{5}=-12\) et \(u{13} = -44\). Calculer \(r\) puis \(u_{50}\).AideImage mentale de l'escalier
déterminer le signe de \(r\)
remarquer que de \(u_5\) à \(u_{13}\) il y a ... marches ; donc \(u_{13} = u_5 + \dots \times r\)
- en déduire la valeur de \(r\).
Solution- \(u_{13} = u_5 + r \times 8 \Leftrightarrow -44 = -12 + 8 r \Leftrightarrow r = -4\)
- \( u_{50} = u_0 + 50 r = u_5 + 45 r =-12 + 45 \times (-4) = -192\)
p.163 nº108
-
Á l'aide de la calculatrice, conjecturer la nature de \((u_n)\) et son sens de variations.Aideles points semblent être alignés sur une droite croissante.Solutionla suite semble être arithmétique (points alignés sur une droite) et semble être croissante.
-
Développer \((3n+1)(n+1)\) et son sens de variations.Solution\((3n+1)(n+1) = 3n^2 + 16 n + 5\)
-
Démontrer la conjecture.AideSimplifier la fraction.Solution\( u_n = \dfrac{3n^2 + 16 n+ 5}{n+5} = \dfrac{(3n+1)(n+5)}{n+5} = 3n+1\)
définition d'une suite suite arithmétique de raison \(r=3\) et de premier terme \(u_0 = 1\).
p.158 nº60
- nº58.1 : \(r=8 > 0\), la suite est croissante
- nº58.2 : \(r=-\frac12 < 0 \), la suite est décroissante
- nº58.3 : \(r=-2 < 0 \), la suite est décroissante
- nº58.4 : \(u_8 < u_{20}\), donc \(r> 0 \), la suite est croissante
- nº59.1 : \(r=4 > 0 \), la suite est croissante
- nº59.2 : \(r=\frac13 > 0 \), la suite est croissante
- nº59.3 : \(u_{10} > u_1 \), donc \(r> 0 \), la suite est croissante
- nº59.4 : \(u_{13} < u_5 \), donc \(r< 0 \), la suite est décroissante
p.158 nº63
-
\(S_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + 500\)Aideformule du coursSolution\(S_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + 500 = 500 \times \dfrac{1 + 500}2 = 125\,250\)
-
\(S_2 = 2 + 4 + 6 + \dots + 200\)Aideremarquer que \(2 = 2\times 1\ ); \(4 = 2\times 2\ ); \(6 = 2\times 3 \)Solution\(S_1 = 2 + 4 + 6 + \dots + 200 = 2 ( 1 + 2 + 3 + \dots + 100) = 2 \times 100 \times \dfrac{1 + 100}2 = 2100\)
-
\(S_3 = 50 + 51 + 50 + \dots + 100\)Aide\( S_3 = 50 + (50 + 1) + (50 + 2) + \dots \)Solution\(S_3 = 50 + (50 + 1) + (50 + 2) + \dots + (50 + 50) = 50 \times 51 + ( 1 + 2 + 3 + \dots + 50) = 2550 + 50 \times \dfrac{1 + 50}2 = 3\,825\)
-
\(S_4 = 4 + 7 + 10 + \dots + 91\)Aideposer \( u_n = 4 + 3n \)Solution
en posant \(u_n = 4 + 3n\) : \(u_0 = 4\)
On cherche \( n\) tel que \(u_n = 91 \Leftrightarrow 4 + 3n = 91) \Leftrightarrow n = 29)
donc \(S_4 = u_0 + u_1 + \dots + u_{29} = 30 \times \dfrac{u_0 + u_{29}}{2} = 1\,425\)
p.164 nº115
-
- premiers termesAideles termes sont de la forme \(\dfrac5{\dots}\)Solution\(u_1 = \dfrac{5 \times 1}{2 \times 1 + 5} = \dfrac57\) ; \(u_2 = \dfrac{5}{9}\) ; \(u_3 = \dfrac{5}{11}\) ;
- nature de la suiteAidecours : une suite est arithmétique si pour tout entier \(n\) : \(u_{n+1} - u_n = r\) avec \(r\) une constante réelle.Solution\(u_{1} - u_0 = \dfrac{5}{7} - 1 = - \dfrac27\) ; \(u_2 - u_1 = \dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{7} = -\dfrac{10}{63}\)
la différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante : la suite n'est pas arithmétique. - inversesSolution\(\dfrac1{u_{0}} = \dfrac11 = 1\) ; \(\dfrac1{u_{1}} = \dfrac75\) ; \(\dfrac1{u_{2}} = \dfrac95\) ; \(\dfrac1{u_{3}} = \dfrac{11}5\)
on remarque que la différence entre deux termes consécutifs est constante : elle vaut \(\dfrac25\)
-
- nature de \(v_n\)Aide\(v_{n+1} - v_n = \dfrac{2u_n + 5}{5u_n} - \dfrac1{u_n}\)Solution
quelque soit \(n \in \mathbb{N}\) : \(v_{n+1} - v_n = \dfrac{2u_n + 5}{5u_n} - \dfrac1{u_n} = \dfrac{2u_n + 5}{5u_n} - \dfrac5{5u_n} = \dfrac{2u_n + 5 - 5}{5u_n} = \dfrac{2u_n}{5u_n} = \dfrac25 \)
donc pour tout \(n\) entier, la différence entre deux termes consécutifs est constante : la suite \((v_n)\) est arithmétique.
- expression de \(u_n\)Aidedéfinition explicite d'une suite arithmétiqueSolution
\(v_{n+1} - v_n = \dfrac25 \) et \(v_0 = 1\) donc \(v_n = 1 + \dfrac25 \times n\)
on sait que \(v_n = \dfrac1{u_n} \Leftrightarrow u_n = \dfrac1{v_n}\) ; donc \(u_n = \dfrac5{5 + 2n}\)
p.149 nº11
- \(u_{n+1} = 5u_n\) : définition par récurrence d'une suite géométrique de raison 5
- \(u_{n} = 5n\) : définition explicite d'une suite arithmétique de raison 5
- \(u_{n} = 5^n\) : définition explicite d'une suite géométrique de raison 5
- \(u_{n} = 2 + 3^n\) : définition explicite d'une suite ni arithmétique, ni géométrique
- \(u_{n} = 2 \times 3^n\) : définition explicite d'une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 2
- \(u_{n+1} = 2u_{n-1} + 3\) : définition par récurrence d'une suite ni arithmétique, ni géométrique
p.158 nº68
sens de variation d'une suite géométrique
-
Aidedéfinition explicite : \(q = 0,2\), donc \(\dots < q < \dots\)Solutionla raison est comprise entre 0 et 1 et le premier terme est positif : la suite est décroissante.
-
Aidedéfinition explicite : \(q > 1\), et \(v_0 < 0\)Solutionla raison est strictement supérieure à 1 et le premier terme est négatif : la suite est décroissante.
-
Aidedéfinition par récurrenceSolutionla raison vaut \(\dfrac15\), donc elle comprise entre 0 et 1 ; le premier terme est négatif : la suite n'est ni croissante, ni décroissante.
-
Aideremarquer que \( t_n = \dfrac23 \times (\dots)^n \)Solution\(t_n = \dfrac2{3^{n+1}} = \dfrac32 \times \dfrac1{3^n} = \dfrac32 \times \left(\dfrac1{3}\right)^n\)
définition explicite d'une suite géométrique de raison \(\dfrac13\) (comprise entre 0 et 1) et de premier terme \(u_0 = \dfrac23 > 0\) : donc la suite est décroissante. -
Aideremarquer que \( k_n = \dfrac1{10} \times (-2)^n \)Solution\( k_n = \dfrac1{10} \times (-2)^n \) : définition explicite d'une suite géométrique de raison -2. La suite n'est ni croissante, ni décroissante.
-
Aidedéfinition par récurrence : déterminer \(q\) et le signe de \(u_0\).Solution\(q=3 > 1 \) et \(u_0 = 5 > 0\) : la suite est croissante.
p.164 nº117
suite géométrique : raison, premier terme, expression explicite
-
Aide
- calculer \(\dfrac{u_{10}}{u_3}\)
- une puissance de 5 admet 5 comme chiffre des unités
Solution\(u_{10} = u_0 \times q^{10} = u_0 \times q^{3} \times q^7 = u_3 \times q^7\)
\(\dfrac{u_{10}}{u_3} = \dfrac{312\,500}{4} = 78\,125 = 5^7\)
comme \(u_3 = u_0 \times 5^3\) on trouve \(u_0 = \dfrac4{125}\)
donc \(u_n = \dfrac4{125} \times 5^n\) -
Aide
- calculer \(\dfrac{u_{7}}{u_2}\)
- si la somme des chiffres d'un entier est un multiple de 3, alors cet entier est divible par 3
Solution\(u_{7} = u_0 \times q^{7} = u_0 \times q^{2} \times q^5 = u_2 \times q^5\)
\(\dfrac{u_{7}}{u_2} = \dfrac9{-2187} = \dfrac1{243} = \left(\dfrac13\right)^5\)
comme \(u_2 = u_0 \times \left( \dfrac13\right)^2\) on trouve \(u_0 = 5\)
donc \(u_n = 5 \times \left(\dfrac13\right)^n\) -
Aidesi \(x^2 = a\) alors \(x = \sqrt{a}\) ou \(x = -\sqrt{a}\)Solution\(u_{6} = u_0 \times q^{6} = u_0 \times q^{2} \times q^4 = u_2 \times q^4\)
\(\dfrac{u_{6}}{u_2} = 16 = q^2\) or \(q>0\) donc \(q=4\)
comme \(u_2 = u_0 \times q^2\) on trouve \(u_0 = \dfrac12\)
donc \(u_n = \dfrac12 \times 4^n\) -
Aidesi \(x^2 = a\) alors \(x = \sqrt{a}\) ou \(x = -\sqrt{a}\)Solution\(u_{10} = u_0 \times q^{10} = u_0 \times q^{4} \times q^6 = u_4 \times q^6\)
\(\dfrac{u_{10}}{u_4} = \dfrac8{512} = \dfrac{2^3}{2^9} = \dfrac1{2^6} = q^6\) or \(q<0\) donc \(q=-\dfrac12\)
comme \(u_4 = u_0 \times q^4\) on trouve \(u_0 = 30\)
donc \(u_n = 30 \times \left(-\dfrac12\right)^n\)
p.150 nº14
- calcul des premiers termesAideaugmenter de \(t\,\%\), c'est multiplier par...Solution
- \(54\,000 \times \left(1 + \dfrac5{100}\right) = 54\,000 \times 1,05 =56\,700\) ; le musée prévoit 56700 entrées en 2019 ;
- \(56\,700 \times \left(1 + \dfrac5{100}\right) = 56\,700 \times 1,05 =59\,535\) ; le musée prévoit 59535 entrées en 2020 ;
-
modéliserAidechaque année, le nombre d'entrées est multiplié par...Solutionchaque année le nombre d'entrées est multiplié par 1,05 : \(u_{n+1} = u_n \times 1,05\)
par définition, la suite \(u_n\) est géométrique. -
expression expliciteAidecours : expression par récurrence / expression expliciteSolution\(u_{n+1} = u_n \times 1,05 \text{ et } u_0 = 54\,000 \Leftrightarrow u_n = 54\,000 \times (1,05)^n\)
-
extrapolationAide\(u_n\) représente le nombre d'entrées pour l'année \( 2018 + n\), pour 2025, il faut \(n=\dots\)Solutionen 2025, \(n = 7\), et \(u_7 = 54\,000 \times 1,05^7 \approx 75\,983\)
en 2025, le musée peut espérer avoir 75983 visiteurs. -
somme des termesAide\(u_n{12}\) représente le nombre d'entrées pour l'année 2030, puis calculer \(u0 + u_1 + \dots + u_{12}\)SolutionLe nombre de visiteur pour l'année 2030 correspond à \(u_{12}\) car 2030 = 2018 + 12.
il faut donc calculer \(u0 + u_1 + \dots + u_{12} = u_0 \times \dfrac{ 1 - 1,05^{12 +1}}{1 - 1.05} = 54\,000 \times \dfrac{ 1 - 1,05^{13}}{1 - 1.05} \approx 956\,501\)
entre 2018 et 2030, le musée aura accueilli environ 956501 visiteurs.
p.165 nº119
Somme des termes d'une suite géométrique-
Aide\(32 \xrightarrow{\times q} 64 \xrightarrow{\times q} 128\) et \(131\,072 = 32 \times q^{12}\)Solution\( S = u_0 + \dots + u_{12}\) avec \((u_n)\) suite géométrique de premier terme \(u_0 = 23\) et de raison \(q = 2\) ; en effet \(\dfrac{131\,072}{32} = 4\,096 = 2^{12}\)
donc \(S = 32 \times \dfrac{1 - 2^{12 +1}}{1-2} = 262\,112\) -
Aide\(2 \xrightarrow{\times q} -6 \xrightarrow{\times q} 18 \xrightarrow{\times q} -54\) et \(118\,098 = 2 \times \dots\)Solution\( S = u_0 + \dots + u_{10}\) avec \((u_n)\) suite géométrique de premier terme \(u_0 = 2\) et de raison \(q = -3\) ; en effet \(\dfrac{118\,098}{2} = 59\,049 = 3^{10}\)
donc \(S = 2 \times \dfrac{1 - (-3)^{10 + 1}}{1-(-3)} = 88\,574\) -
Aide\(3 \xrightarrow{\times q} 5 \xrightarrow{\times q} \dfrac{25}3 \xrightarrow{\times q} \dfrac{125}9\) et \(390\,625 = 5^8\)Solution\( S = u_0 + \dots + u_{8}\) avec \((u_n)\) suite géométrique de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(q = \dfrac35\) ; en effet \(\dfrac{390\,625}{2\,187} = \dfrac{5^8}{3^7} = 3 \times \left( \dfrac53 \right)^8\)
donc \(S = 2 \times \dfrac{1 - (\dfrac53)^{8 + 1}}{1- \dfrac53} = \dfrac{1\,933\,442}{6\,561}\) -
Aide\(2^{n+1} = 2 \times 2^n\) ; la somme est une fonction de \(n\). Conjecturer la valeur de \(S_4\) quand \(n\) tends vers \(+\infty\).Solution\(\dfrac{2^{n+1}}{3\times 5^n} = \dfrac{2 \times 2^{n}}{3\times 5^n} = \dfrac23 \times \left( \dfrac25 \right)^n \)
\( S = u_0 + \dots + u_{n}\) avec \((u_n)\) suite géométrique de premier terme \(u_0 = \dfrac23\) et de raison \(q = \dfrac25\) ;
donc \(S = \dfrac23 \times \dfrac{1 - \left(\dfrac25\right)^{n + 1}}{1- \dfrac25} = \dfrac23 \times \dfrac53 \left( 1 - \left(\dfrac25\right)^{n + 1} \right)\)
et \(\lim\limits_{n\to + \infty}S = \dfrac{10}9 \)