• p.158 nº59
• p.163 nº108
• p.158 nº60
• p.158 nº63
• p.164 nº115
• p.149 nº11
• p.158 nº68
• p.164 nº117
• p.150 nº14
• p.165 nº119

p.158 nº59

1. \(u_0 = -1\) et \(r=4\). Calculer \(u_5\) puis \(u_{10}\).
   Aide

   par définition \(u_n = u_0 + rn\), donc \(u_5 = u_0 + r \times 5\)
   Solution

   \(u_n = -1 + 4n\), donc \(u_5 = -1 + 4 \times 5 = 19\) et \(u_{10} = -1 + 4\times 10 = 39\)
2. \(u_{12}=9\) et \(r = \dfrac{1}{3}\). Calculer \(u_0\) puis \(u_{6}\).
   Aide

   par définition \(u_n = u_0 + rn\), donc \(u_{12} = u_0 + r \times 12 \Leftrightarrow 9 = u_0 + 12 \times \dfrac13 \)
   Solution

   • \( 9 = u_0 + 12 \times \dfrac13 \Leftrightarrow 9 = u_0 + 4 \Leftrightarrow u_0 = 5\)
   • \( u_6 = u_0 + 6 r = 5 + 6 \times \dfrac13 = 7\)
3. \(u_{0}=1\) et \(u{10} = 31\). Calculer \(r\) puis \(u_{2018}\).
   Aide

   par définition \(u_n = u_0 + rn\), donc \(u_{10} = u_0 + r \times 10\)
   Solution

   • \(u_{10} = u_0 + r \times 10 \Leftrightarrow 31 = 1 + 10 r \Leftrightarrow r = 3\)
   • \( u_{2018} = u_0 + 2018 r = 1 + 2018 \times 3 = 6055\)
4. \(u_{5}=-12\) et \(u{13} = -44\). Calculer \(r\) puis \(u_{50}\).
   Aide

   Image mentale de l'escalier

   • déterminer le signe de \(r\)

   • remarquer que de \(u_5\) à \(u_{13}\) il y a ... marches ; donc \(u_{13} = u_5 + \dots \times r\)

   • en déduire la valeur de \(r\).
   Solution

   • \(u_{13} = u_5 + r \times 8 \Leftrightarrow -44 = -12 + 8 r \Leftrightarrow r = -4\)
   • \( u_{50} = u_0 + 50 r = u_5 + 45 r =-12 + 45 \times (-4) = -192\)

p.163 nº108

1. Á l'aide de la calculatrice, conjecturer la nature de \((u_n)\) et son sens de variations.
   Aide

   les points semblent être alignés sur une droite croissante.
   Solution

   la suite semble être arithmétique (points alignés sur une droite) et semble être croissante.
2. Développer \((3n+1)(n+1)\) et son sens de variations.
   Solution

   \((3n+1)(n+1) = 3n^2 + 16 n + 5\)
3. Démontrer la conjecture.
   Aide

   Simplifier la fraction.
   Solution

   \( u_n = \dfrac{3n^2 + 16 n+ 5}{n+5} = \dfrac{(3n+1)(n+5)}{n+5} = 3n+1\)
   définition d'une suite suite arithmétique de raison \(r=3\) et de premier terme \(u_0 = 1\).

p.158 nº60

p.158 nº63

1. \(S_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + 500\)
   Aide

   formule du cours
   Solution

   \(S_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + 500 = 500 \times \dfrac{1 + 500}2 = 125\,250\)
2. \(S_2 = 2 + 4 + 6 + \dots + 200\)
   Aide

   remarquer que \(2 = 2\times 1\ ); \(4 = 2\times 2\ ); \(6 = 2\times 3 \)
   Solution

   \(S_1 = 2 + 4 + 6 + \dots + 200 = 2 ( 1 + 2 + 3 + \dots + 100) = 2 \times 100 \times \dfrac{1 + 100}2 = 2100\)
3. \(S_3 = 50 + 51 + 50 + \dots + 100\)
   Aide

   \( S_3 = 50 + (50 + 1) + (50 + 2) + \dots \)
   Solution

   \(S_3 = 50 + (50 + 1) + (50 + 2) + \dots + (50 + 50) = 50 \times 51 + ( 1 + 2 + 3 + \dots + 50) = 2550 + 50 \times \dfrac{1 + 50}2 = 3\,825\)
4. \(S_4 = 4 + 7 + 10 + \dots + 91\)
   Aide

   poser \( u_n = 4 + 3n \)
   Solution

   en posant \(u_n = 4 + 3n\) : \(u_0 = 4\)

   On cherche \( n\) tel que \(u_n = 91 \Leftrightarrow 4 + 3n = 91) \Leftrightarrow n = 29)

   donc \(S_4 = u_0 + u_1 + \dots + u_{29} = 30 \times \dfrac{u_0 + u_{29}}{2} = 1\,425\)

p.164 nº115

1. 1. premiers termes
      Aide

      les termes sont de la forme \(\dfrac5{\dots}\)
      Solution

      \(u_1 = \dfrac{5 \times 1}{2 \times 1 + 5} = \dfrac57\) ; \(u_2 = \dfrac{5}{9}\) ; \(u_3 = \dfrac{5}{11}\) ;
   2. nature de la suite
      Aide

      cours : une suite est arithmétique si pour tout entier \(n\) : \(u_{n+1} - u_n = r\) avec \(r\) une constante réelle.
      Solution

      \(u_{1} - u_0 = \dfrac{5}{7} - 1 = - \dfrac27\) ; \(u_2 - u_1 = \dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{7} = -\dfrac{10}{63}\)
      la différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante : la suite n'est pas arithmétique.
   3. inverses
      Solution

      \(\dfrac1{u_{0}} = \dfrac11 = 1\) ; \(\dfrac1{u_{1}} = \dfrac75\) ; \(\dfrac1{u_{2}} = \dfrac95\) ; \(\dfrac1{u_{3}} = \dfrac{11}5\)
      on remarque que la différence entre deux termes consécutifs est constante : elle vaut \(\dfrac25\)
2. 1. nature de \(v_n\)
      Aide

      \(v_{n+1} - v_n = \dfrac{2u_n + 5}{5u_n} - \dfrac1{u_n}\)
      Solution

      quelque soit \(n \in \mathbb{N}\) : \(v_{n+1} - v_n = \dfrac{2u_n + 5}{5u_n} - \dfrac1{u_n} = \dfrac{2u_n + 5}{5u_n} - \dfrac5{5u_n} = \dfrac{2u_n + 5 - 5}{5u_n} = \dfrac{2u_n}{5u_n} = \dfrac25 \)

      donc pour tout \(n\) entier, la différence entre deux termes consécutifs est constante : la suite \((v_n)\) est arithmétique.

   2. expression de \(u_n\)
      Aide

      définition explicite d'une suite arithmétique
      Solution

      \(v_{n+1} - v_n = \dfrac25 \) et \(v_0 = 1\) donc \(v_n = 1 + \dfrac25 \times n\)

      on sait que \(v_n = \dfrac1{u_n} \Leftrightarrow u_n = \dfrac1{v_n}\) ; donc \(u_n = \dfrac5{5 + 2n}\)

p.149 nº11

p.158 nº68

sens de variation d'une suite géométrique

1. Aide

   définition explicite : \(q = 0,2\), donc \(\dots < q < \dots\)
   Solution

   la raison est comprise entre 0 et 1 et le premier terme est positif : la suite est décroissante.
2. Aide

   définition explicite : \(q > 1\), et \(v_0 < 0\)
   Solution

   la raison est strictement supérieure à 1 et le premier terme est négatif : la suite est décroissante.
3. Aide

   définition par récurrence
   Solution

   la raison vaut \(\dfrac15\), donc elle comprise entre 0 et 1 ; le premier terme est négatif : la suite n'est ni croissante, ni décroissante.
4. Aide

   remarquer que \( t_n = \dfrac23 \times (\dots)^n \)
   Solution

   \(t_n = \dfrac2{3^{n+1}} = \dfrac32 \times \dfrac1{3^n} = \dfrac32 \times \left(\dfrac1{3}\right)^n\)
   définition explicite d'une suite géométrique de raison \(\dfrac13\) (comprise entre 0 et 1) et de premier terme \(u_0 = \dfrac23 > 0\) : donc la suite est décroissante.
5. Aide

   remarquer que \( k_n = \dfrac1{10} \times (-2)^n \)
   Solution

   \( k_n = \dfrac1{10} \times (-2)^n \) : définition explicite d'une suite géométrique de raison -2. La suite n'est ni croissante, ni décroissante.
6. Aide

   définition par récurrence : déterminer \(q\) et le signe de \(u_0\).
   Solution

   \(q=3 > 1 \) et \(u_0 = 5 > 0\) : la suite est croissante.

p.164 nº117

suite géométrique : raison, premier terme, expression explicite

1. Aide

   • calculer \(\dfrac{u_{10}}{u_3}\)
   • une puissance de 5 admet 5 comme chiffre des unités
   Solution

   \(u_{10} = u_0 \times q^{10} = u_0 \times q^{3} \times q^7 = u_3 \times q^7\)
   \(\dfrac{u_{10}}{u_3} = \dfrac{312\,500}{4} = 78\,125 = 5^7\)
   comme \(u_3 = u_0 \times 5^3\) on trouve \(u_0 = \dfrac4{125}\)
   donc \(u_n = \dfrac4{125} \times 5^n\)
2. Aide

   • calculer \(\dfrac{u_{7}}{u_2}\)
   • si la somme des chiffres d'un entier est un multiple de 3, alors cet entier est divible par 3
   Solution

   \(u_{7} = u_0 \times q^{7} = u_0 \times q^{2} \times q^5 = u_2 \times q^5\)
   \(\dfrac{u_{7}}{u_2} = \dfrac9{-2187} = \dfrac1{243} = \left(\dfrac13\right)^5\)
   comme \(u_2 = u_0 \times \left( \dfrac13\right)^2\) on trouve \(u_0 = 5\)
   donc \(u_n = 5 \times \left(\dfrac13\right)^n\)
3. Aide

   si \(x^2 = a\) alors \(x = \sqrt{a}\) ou \(x = -\sqrt{a}\)
   Solution

   \(u_{6} = u_0 \times q^{6} = u_0 \times q^{2} \times q^4 = u_2 \times q^4\)
   \(\dfrac{u_{6}}{u_2} = 16 = q^2\) or \(q>0\) donc \(q=4\)
   comme \(u_2 = u_0 \times q^2\) on trouve \(u_0 = \dfrac12\)
   donc \(u_n = \dfrac12 \times 4^n\)
4. Aide

   si \(x^2 = a\) alors \(x = \sqrt{a}\) ou \(x = -\sqrt{a}\)
   Solution

   \(u_{10} = u_0 \times q^{10} = u_0 \times q^{4} \times q^6 = u_4 \times q^6\)
   \(\dfrac{u_{10}}{u_4} = \dfrac8{512} = \dfrac{2^3}{2^9} = \dfrac1{2^6} = q^6\) or \(q<0\) donc \(q=-\dfrac12\)
   comme \(u_4 = u_0 \times q^4\) on trouve \(u_0 = 30\)
   donc \(u_n = 30 \times \left(-\dfrac12\right)^n\)

p.150 nº14

1. calcul des premiers termes
   Aide

   augmenter de \(t\,\%\), c'est multiplier par...
   Solution

   • \(54\,000 \times \left(1 + \dfrac5{100}\right) = 54\,000 \times 1,05 =56\,700\) ; le musée prévoit 56700 entrées en 2019 ;
   • \(56\,700 \times \left(1 + \dfrac5{100}\right) = 56\,700 \times 1,05 =59\,535\) ; le musée prévoit 59535 entrées en 2020 ;
2. modéliser
   Aide

   chaque année, le nombre d'entrées est multiplié par...
   Solution

   chaque année le nombre d'entrées est multiplié par 1,05 : \(u_{n+1} = u_n \times 1,05\)
   par définition, la suite \(u_n\) est géométrique.
3. expression explicite
   Aide

   cours : expression par récurrence / expression explicite
   Solution

   \(u_{n+1} = u_n \times 1,05 \text{ et } u_0 = 54\,000 \Leftrightarrow u_n = 54\,000 \times (1,05)^n\)
4. extrapolation
   Aide

   \(u_n\) représente le nombre d'entrées pour l'année \( 2018 + n\), pour 2025, il faut \(n=\dots\)
   Solution

   en 2025, \(n = 7\), et \(u_7 = 54\,000 \times 1,05^7 \approx 75\,983\)
   en 2025, le musée peut espérer avoir 75983 visiteurs.
5. somme des termes
   Aide

   \(u_n{12}\) représente le nombre d'entrées pour l'année 2030, puis calculer \(u0 + u_1 + \dots + u_{12}\)
   Solution

   Le nombre de visiteur pour l'année 2030 correspond à \(u_{12}\) car 2030 = 2018 + 12.
   il faut donc calculer \(u0 + u_1 + \dots + u_{12} = u_0 \times \dfrac{ 1 - 1,05^{12 +1}}{1 - 1.05} = 54\,000 \times \dfrac{ 1 - 1,05^{13}}{1 - 1.05} \approx 956\,501\)
   entre 2018 et 2030, le musée aura accueilli environ 956501 visiteurs.

p.165 nº119

1. Aide

   \(32 \xrightarrow{\times q} 64 \xrightarrow{\times q} 128\) et \(131\,072 = 32 \times q^{12}\)
   Solution

   \( S = u_0 + \dots + u_{12}\) avec \((u_n)\) suite géométrique de premier terme \(u_0 = 23\) et de raison \(q = 2\) ; en effet \(\dfrac{131\,072}{32} = 4\,096 = 2^{12}\)
   donc \(S = 32 \times \dfrac{1 - 2^{12 +1}}{1-2} = 262\,112\)
2. Aide

   \(2 \xrightarrow{\times q} -6 \xrightarrow{\times q} 18 \xrightarrow{\times q} -54\) et \(118\,098 = 2 \times \dots\)
   Solution

   \( S = u_0 + \dots + u_{10}\) avec \((u_n)\) suite géométrique de premier terme \(u_0 = 2\) et de raison \(q = -3\) ; en effet \(\dfrac{118\,098}{2} = 59\,049 = 3^{10}\)
   donc \(S = 2 \times \dfrac{1 - (-3)^{10 + 1}}{1-(-3)} = 88\,574\)
3. Aide

   \(3 \xrightarrow{\times q} 5 \xrightarrow{\times q} \dfrac{25}3 \xrightarrow{\times q} \dfrac{125}9\) et \(390\,625 = 5^8\)
   Solution

   \( S = u_0 + \dots + u_{8}\) avec \((u_n)\) suite géométrique de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(q = \dfrac35\) ; en effet \(\dfrac{390\,625}{2\,187} = \dfrac{5^8}{3^7} = 3 \times \left( \dfrac53 \right)^8\)
   donc \(S = 2 \times \dfrac{1 - (\dfrac53)^{8 + 1}}{1- \dfrac53} = \dfrac{1\,933\,442}{6\,561}\)
4. Aide

   \(2^{n+1} = 2 \times 2^n\) ; la somme est une fonction de \(n\). Conjecturer la valeur de \(S_4\) quand \(n\) tends vers \(+\infty\).
   Solution

   \(\dfrac{2^{n+1}}{3\times 5^n} = \dfrac{2 \times 2^{n}}{3\times 5^n} = \dfrac23 \times \left( \dfrac25 \right)^n \)
   \( S = u_0 + \dots + u_{n}\) avec \((u_n)\) suite géométrique de premier terme \(u_0 = \dfrac23\) et de raison \(q = \dfrac25\) ;
   donc \(S = \dfrac23 \times \dfrac{1 - \left(\dfrac25\right)^{n + 1}}{1- \dfrac25} = \dfrac23 \times \dfrac53 \left( 1 - \left(\dfrac25\right)^{n + 1} \right)\)
   et \(\lim\limits_{n\to + \infty}S = \dfrac{10}9 \)