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Devoir maison pour le lundi 6 mars 2023

Consignes

possiblité de le faire en binôme

En vous inspirant des exercices p 117 n° 98 et p 117 n° 99 partie 1 p 117 n° 99 partie 2 : vous devez créer un exercice et son corrigé avec les contraintes suivantes :

la fonction étudiée fait intervenir une fonction logarithme de la forme \( x \mapsto \ln (mx + p) \) ou \( x \mapsto \ln\left(\dfrac{ax + b}{cx + d}\right) \)

Les coefficients utilisés doivent être en relation avec votre date d'anniversaire !

Par exemple si votre jour anniversaire est le 6 avril, une fonction possible est \( f(x) = -0,5 x + 10 + \ln\left( \dfrac{x + \color{red}{6}}{\color{red}{0,4} - x} \right) \)
(les coefficients faisant intervenir la date anniversaire sont à un facteur 10 près : pour 6 il est possible de prendre 0,6 ou 6 ou 60 ou 0,006...)
Une question doit faire intervenir le TVI (théorème des valeurs intermédiaires) et une recherche de solution par dichotomie ou balayage.
le contexte doit faire intervenir le printemps (la poésie, les petites fleurs, la nature...)

Plan de travail

À l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice, trouver une fonction \( f \) dont l'allure vous plaît (jouer sur les valeurs des coefficients).
Lire graphiquement les variations (donc le signe de la fonction dérivée), les coordonnées de points particuliers...
Trouver un contexte (une histoire) pour introduire l'étude de votre fonction.
Rédiger les questions ET les réponses !

À rendre

À rendre : votre énoncé ET la correction qui doit suivre une struture ressemblant à :

Contexte... Soit \( f \) la fonction définie sur ...

Montrer que la dérivée est \( f'(x) = \dots \)
Donner le tableau de variations
En déduire... (max / min / ensemble de solutions)
Démontrer que l'équation \( f(x)= ... \) admet une solution sur l'intervalle ...
Conclure dans le contexte.

Bon Anniversaire

D'après le travail de Chirine.

Lors des vacances de printemps, Chirine a fêté son anniversaire avec ses amis lors d'un pique-nique en pleine nature. Installés dans un parterre de belles fleurs roses, ils ont partagé un gâteau dont le profil pouvait être modélisé sur l'intervalle \( [-2\,; 2]\) par la fonction \[ f(x) = \ln(24 + x) + 2 - 5x^2 \]

Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \( f'(x)=\dfrac{-10 x^2 - 240 x + 1}{24 + x} \).

la dérivée de \( \ln(u) \) est \( \dfrac{u'}{u}\)
En déduire le tableau de variations de \(f\), puis calculer les coordonnées \( \alpha \,; f(\alpha) \) du maximum.

Donner la valeur approchée à \(10^{-6}\) de \(\alpha\).
- le numérateur est un polynôme du second degré : préciser l'orientation de la parabole, calculer les racines...
- justifier que le dénominateur est positif.
- calculer les images aux bornes de l'intervalle de de définition et le maximum (valeurs exactes / approchées)
Démontrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet exactement deux solutions \(a\) et \(b\) sur \( [-2 \,; 2]\), puis donner leur valeur approchée à \( 10^{-6} \) près.
- la fonction est continue et strictement croissante sur \( [-2 \,; \alpha ]\) ... T.V.I.
- la fonction est continue et strictement décroissante sur \( [\alpha \,; 2 ]\) ... T.V.I.
- valeurs approchées par dichotomie et/ou balayage.
Avant de lui offrir de magnifiques fleurs rares en cadeau d'anniversaire, ses amis décident de partager le gâteau en deux parts égales : le trait de coupe passe par le maximum de la fonction et est parallèle à l'axe des ordonnées.

Le partage a-t-il été équitable ?
- le graphe laisse supposer que la fonction admet un axe de symétrie ; si c'est le cas, il doit être parallèle à l'axe des ordonnées et passer par le maximum. Son équation est la forme \( x = \alpha \)
- s'il y a symétrie, le milieu du segment d'extrémités \( (a\,; f(a) )\) et \( (b\,; f(b) )\) appartient à l'axe de symétrie.

Rosée du matin

D'après le travail de Florent.

Aux informations françaises de 20 heures, une forte tempête de vent est annoncée entre 22 h et minuit trente.

Un élève de « Maths Complémentaires » du lycée Emily Brönte se demande si la rosée se formera malgré la tempête et si oui, à quel moment.

il pense que la rosée se forme à condition que la température passe de 10°C à 0°C en moins de deux heures.
la fonction définie sur \( ]-2 \,; 0,5] \)par \( f(x) = -2 \ln\left( \dfrac{x + 2}{ 0,6 - x}\right)\) donne la température en degré Celsius en fonction de l'heure \( x \) calculée à partir de minuit.
Si \(x = -1\) cela signifie qu'il est 23 h (une heure avant minuit)

Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \( f'(x)=\dfrac{-5,2}{- x^2 -1,4 x + 1,2} \).
- la dérivée de \( \ln(u) \) est \( \dfrac{u'}{u}\)
- mais Florent propose d'abord de changer l'expression de la fonction en utilisant la propriété \( \ln\left( \dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\)
Donner le tableau de variations de \(f\).

il faut trouver le signe du dénominateur qui est un polynôme du second degré.
Calculer la limite de \( f\) quand \(x\) tend vers 2, puis l'image de 0,5.

En déduire qu'il existe une valeur \(\alpha\) telle que la température soit égale à 0°C.
- vérifier que \( \lim\limits_{x \to 2^+}f(x) = +\infty\)
- \(f\) est continue et strictement décroissante ... T.V.I ...
Déterminer la valeur de \(\alpha \) arrondie au dixième telle que \(f(\alpha) = 0\) sachant que \(\alpha \in ]-2 \,; 0,5]\).

par balayage et/ou dichotomie.
Répondre à la question que ce pose ce sympathique élève de « Maths Complémentaires ». (On pourra calculer l'image de -1,99)

on a trouvé \(\alpha \approx -0,7 \), puis \(f(-1,99) \approx 11,1 \)...

Feuille qui vole

D'après le travail d'Ambre.

C'est le début des vacances de printemps et Gilbert (7 ans) joue dans le jardin de ses grands parents.

Soudain, il aperçoit une feuille posée sur la table du jardin. Il décide de souffler dessus de toutes ses forces. La feuille s'envole avant de se poser plus loin.

La chute de la feuille dans un plan vertical peut être modélisée par la fonction \(f\) définie sur \([0\,; +\infty[\) par \[f(x) = -5 x + \ln(7x + 0,4) + 1,913\] où \(x\) désigne la distance parcourue (en mètre) et \(f(x)\) la hauteur de la feuille (en mètre) par rapport au sol.

Donner la hauteur de la table (en centimètre).

Quand la feuille est sur la table, elle a parcourue 0 mètre...
Montrer que pour tout \(x \in [0\,; +\infty]\), \(f'(x) = -5 + \dfrac{7}{7x + 0,4}\)

la dérivée de \( \ln(u) \) est \( \dfrac{u'}{u}\)
Donner le tableau de variations de \(f\).

écrire la dérivée sous forme d'un quotient puis étudier le signe du numérateur et du dénominateur.
En déduire la hauteur maximale atteinte par la feuille au cours de son vol (arrondir 0,01 près).

la maximum est atteint pour \(x = \frac17\)
Démontrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution α sur \(\left[ \frac17\,; 1 \right]\).
Donner une valeur approchée de \(\alpha\) à 0,01 près.

on calcule \(f(1)\) qui est négatif ; la fonction est continue et strictement décroissante... T.V.I....
Interpréter la valeur de \(\alpha\) dans le contexte.

\(\alpha\) représente la distance parcourue par la feuille avant de se poser sur sol.
Décidément, Gilbert a beaucoup de souffle.

Hirondelles

D'après le travail de Kélia et Arnaud.

Je suis né lorsque les hirondelles quittent l'Europe pour les pays les plus chauds. À l'heure actuelle, certaines, âgées et fatiguées, restent en Europe puisque le réchauffement climatique est apparu.

Au mois de mai, les hirondelles sont de retour, mais ne font pas le printemps, puisque officiellement c'est le 21 mars.

Comme le dit la chanson : « Y'a d'la joie -- bonjour, bonjour les hirondelles -- Y'a d'la joie ! ». Les hirondelles sont annonciatrices de présages heureux, par le bonheur, symbole de la liberté.

La problématique est de vérifier que le mois de mars est le mois où les hirondelles reviennent en Ile de France, c'est à le mois à partir duquel la population d'hirondelles est croissante.
On modélise la relation entre la population (en milliers d'hirondelles) et le mois de l'année par la fonction \(f\) définie sur \([0 \,; 6[\) par : \[f(x) = -3 x + 15 + \ln\left( \dfrac{x + 22}{9 - 1,5 x}\right)\] où \(x\) représente le quantième de mois à partir de septembre, donc \(x = 0,5\) représente le 15 septembre et \(x = 3\) est le 1er décembre.

Justifier que la fonction \(f\) est bien définie sur \([0 \,; 6[\).

Il faut que l'expression « à l'intérieur de \(\ln\) » soit strictement positive.
Montrer que la dérivée de \(f\) est \(f'(x) = \dfrac{4,5 x^2 + 72 x - 552}{(9 - 1,5 x)(x + 22)}\)
- la dérivée de \( \ln(u) \) est \( \dfrac{u'}{u}\)
- mais \(u\) est une fonction rationnelle...
Établir le tableau de variations de la fonction. (Ne pas oublier les valeurs extrèmes et le calcul de la limite quand \(x\) tend vers 6.)
- il faut déterminer le signe du numérateur qui est un polynôme du second degré.
- justifier que le dénominateur est strictement positif (cela peut être prouvé sans calcul)
- calculer les valeurs exactes, puis approchées au centième des images de 0 et \( \dfrac{-24 + 4 \sqrt{105}}{3}\)
- pour la limite en 6, remarquer que \(\lim\limits_{\substack{x \to 6 \\ x < 6}} \dfrac{x + 22}{9 - 1,5 x} = +\infty\)
Expliquer pourquoi le mois de mars n'est pas le mois de retour des hirondelles et déterminer la date (mois, jour) du retour des hirondelles en Ile de France. (on compte 30 jours par mois).
- le minimum est atteint pour \(x \approx 5,66 = 5 + \frac23\)
- \(\frac23\) de mois, c'est ... jours ; et on compte les mois à partir de septembre.
À l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, déterminer les dates entre lesquelles la population d'hirondelles est inférieure à 9000 individus.
- on cherche à résoudre \(f(x) \leq 9\)
- utiliser le T.V.I. sur deux intervalles (l'un où la fonction est strictement décroissante, l'autre où elle est strictement croissante.)

Mystère du printemps

D'après le travail de Khadidja et Loan.

Khadija et Loan proposent un travail à partir de la fonction \(f(x) = -0,5 x + 10 + \ln \left( \dfrac{x + 31}{0,7 - x }\right)\) définie sur \(]-31 \,; 0,7[\)... Mais quel est le contexte printanier ? Mystère, c'est à c'est à vous de le trouver ;-)