• premier terme : \( u_0 = 4 \)
• deuxième terme : \( u_1 = 2 \times u_0 + 1 = 2 \times 4 + 1 = 9 \)
• troisième terme : \( u_2 = 2 \times u_1 + 1 = 2 \times 9 + 1 = 19 \)
• quatrième terme : \( u_3 = 2 \times u_2 + 1 = 2 \times 19 + 1 = 39 \)

• « \( u_n \) en fonction de » signifie qu'on veut une expression de la forme \( u_n = \dots \)
• on sait que \( u_{n+1} = 2 u_n + 1\) ; c'est à dire on connaît l'expression de \( u_{n+1} \) en fonction de celle de \( u_n \).
• donc \( u_{n+1 + (\color{red}{-1})} = 2 u_{n + (\color{red}{-1})} + 1 \Leftrightarrow u_{n} = 2 u_{n -1} + 1\)
• on vient d'exprimer \( u_n \) en fonction de \( u_{n-1} \).

• premier terme : \( v_0 = 4 \)
• deuxième terme : \( V_1 = 3 \times v_0 - 2 \times 0 = 3 \times 4 - 0 = 12 \)
• troisième terme : \( v_2 = 3 \times v_1 - 2 \times 1 = 3 \times 12 - 2 = 34 \)
• quatrième terme : \( v_3 = 3 \times v_2 - 2 \times 2 = 3 \times 34 - 4 = 98 \)

• « \( v_n \) en fonction de » signifie qu'on veut une expression de la forme \( v_n = \dots \)
• on sait que \( v_{n+1} = 3 v_n - 2n \) ; c'est à dire on connaît l'expression de \( v_{n+1} \) en fonction de celle de \( v_n \).
• donc \( v_{n+1 + (\color{red}{-1})} = 3 v_{n + (\color{red}{-1})} - 2 (n \color{red}{-1}) \Leftrightarrow v_{n} = 3 v_{n -1} - 2 (n - 1)\)
• on vient d'exprimer \( v_n \) en fonction de \( v_{n-1} \).

La suite ne semble pas monotone ; elle semble être alternée.

• \( u_{n+2} = \dfrac{1 - u_{n+1}}{1 + u_{n+1}} \)
• \( u_{n+2} = \dfrac{1 - \dfrac{1 - u_n}{1 + u_n}} {1 + \dfrac{1 - u_n}{1 + u_n}} \)
• \( u_{n+2} = \dfrac{\dfrac{1 + u_n - (1 - u_n)}{1 + u_n}} {\dfrac{1 + u_n + (1 - u_n)}{1 + u_n}} \)
• \( u_{n+2} = \dfrac{2 u_n}{1 + u_n} \times \dfrac{1 + u_n}{2} \)
• \( u_{n+2} = u_n \)

\( u_0 = 3 \), et \( u_0 = u_2 = u_4 = \dots = u_{2n} = 3\)

\( u_1 = \dfrac{-2}4 = -0,5\), et \( u_1 = u_3 = u_5 = \dots = u_{2n + 1} = -0,5\)

Le 1000ième terme est \( u_{999} = -0,5\)

La suite semble décroissante.

On remarque que \( v_n = \color{red}{u_{n+1}} - u_n \Leftrightarrow v_n = \color{red}{2 u_n - 4} - u_n \Leftrightarrow v_n = u_n - 4\)

• \( v_{n+1} = \color{blue}{u_{n+1}} - 4\)
• \( v_{n+1} = \color{blue}{2 u_{n} - 4} - 4\)
• \( v_{n+1} = 2 \left( u_{n} - 4 \right) \)
• \( v_{n+1} = 2 v_{n}\)

\( v_0 = u_0 - 4 = 3 - 4 = - 1\)

Comme on multiplie par 2 qui est positif, à chaque étape, le signe de \( v_{n+1} \) est celui de \( v_n \)

pour tout entier \(n\), on a donc \( v_n < 0 \)

(La démonstration «propre» sera faite en terminale.)

On cherche le signe de \( u_{n+1} - u_n\)

• \( u_{n+1} - u_n = 2 u_n - 4 - u_n\)
• \( u_{n+1} - u_n = u_n - 4\)
• \( u_{n+1} - u_n = v_n\)

Or \( v_n < 0 \), donc la suite \((u_n)\) est décroissante.

Si \(u_0 = 6\), alors \(v_0 = 2\) et donc \( v_n > 0 \). On aura donc \( u_{n+1} - u_n > 0 \) : la suite \(u_n\) sera croissante.

Si \(u_0 = 4\), alors \(v_0 = 0\) et donc \( v_n = 0 \). On aura donc \( u_{n+1} - u_n = 0 \) : la suite \(u_n\) sera constante et égale à 4.

Plus généralement :

• si \(u_0 < 4\), alors la suite \((u_n)\) est décroissante ;
• si \(u_0 = 4\), alors la suite \((u_n)\) est constante ;
• si \(u_0 > 4\), alors la suite \((u_n)\) est croissante.

• L'équation réduire d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées est la forme \( y = mx + p\) avec \( m\) le coefficient directeur et \(p\) l'ordonnée à l'origine.

• pour lire \(m\) : quand on se décale d'une unité en abscisse, on se décale de \(m\) unités en ordonnées.

  

• Cas particulier : l'équation réduite d'une droite parallèle à l'axe des abscisses est \(y=k\) (car \( m = 0\)).
• L'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées est de la forme \( x = k\).

• \(d_1 : y = -x + 1\)
• \(d_2 : y = -2\)
• \(d_3 : y = 3 x\)
• \(d_4 : x = 1\)

• L'équation réduire d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées est la forme \( y = mx + p\) avec \( m\) le coefficient directeur et \(p\) l'ordonnée à l'origine.
• Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est égal à \( m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B-x_A} \)

• \(m =\dfrac{11 - 7}{5 - 3} = \dfrac42 = 2\)
• \(m =\dfrac{-3 - 5}{1 - (-2)} = \dfrac{-8}3 \)
• \(m =\dfrac{2 - 2}{5 - (-3)} = 0 \)

• L'équation réduire d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées est la forme \( y = mx + p\) avec \( m\) le coefficient directeur et \(p\) l'ordonnée à l'origine.
• méthode 1 : si un point appartient à une droite, alors ses coordonnées vérifient (rendent vraie) l'équation. Si on connaît \(m \,; x_A \text{ et } y_A\), il faut donc trouver \(p\) sachant que \( y_A = m x_A + p \)
• méthode 2 : on a montré en classe de 2nde qu'une équation de la droite \((AB)\) est : \(y = m(x - x_A) + y_A\).

En prenant la méthode 2 :

• \(y = 2 (x - (-2)) + 4 = 2 x + 8\)
• \(y = -\dfrac12 (x - 3) + 2 = -\dfrac12 x + \dfrac72\)
• \(y = 0 (x - 6) + \dfrac13 = \dfrac13\)

En utilisant les méthodes des exercices p 83 n° 16 - 17 - 18

• \(m = \dfrac{9 - 7}{-3 - 1} = -\dfrac12\) donc \(y = -dfrac12 (x - 1) + 7 = -dfrac12 x + \dfrac{15}2\)
• les points A et B ont la même abscisse, donc la droite est parallèle à l'axe des ordonnées : \(x = 2\)
• les points A et B ont la même ordonnée, donc la droite est parallèle à l'axe des abscisses : \( y = -3 \)
• \(m = \dfrac{5 - (-2)}{5 - (-2)} = 1\) donc \(y = 1 \times (x - (-2)) + (-2) = x \)

En utilisant les méthodes des exercices p 83 n° 17 - 18

Deux droites parallèles ont la même direction, donc le même coefficient directeur.

• droite \((AB)\) : \(m = \dfrac{-1 - 4}{4 - 1} = -\dfrac53\) donc \(y = -\dfrac53 (x - 1) + 4 = -\dfrac53 x + \dfrac{17}3\)
• parallèle : \(m = -\dfrac53\) donc \(y = -\dfrac53 \times (x - (-1)) + 0 = -\dfrac53 x -\dfrac53\)