Devoir maison pour le mercredi 20 mars 2024

Consignes

possibilité de le faire en groupe (max 4 personnes)

En vous inspirant des exercices p.117 n°97 - 98 - 99 ; vous devez créer un exercice et son corrigé en respectant les contraintes suivantes :

• la fonction étudiée est de la forme $f(x) = a + \dfrac{b}x + k \dfrac{\ln (mx)}x$ ou de la forme $f(x) = \dfrac{ax + b + k \ln (mx)}x$
• π-Day oblige, un des coefficients doit être 3,14 (à une puissance de 10 près).
• Une question doit faire intervenir le TVI (théorème des valeurs intermédiaires) et une recherche de solution par dichotomie ou balayage.
• le contexte doit faire intervenir le printemps (la poésie, les petites fleurs, la nature...) ou Pâques (lapin, chasse aux œufs, poule, cloche...)

Plan de travail

• À l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice, trouver une fonction $f$ dont l'allure vous plaît (jouer sur les valeurs des coefficients).
• Lire graphiquement les variations (donc le signe de la fonction dérivée), les coordonnées de points particuliers...
• Trouver un contexte (une histoire) pour introduire l'étude de votre fonction.
• Rédiger les questions ET les réponses !

À rendre

À rendre : votre énoncé ET la correction qui doit suivre une struture ressemblant à :

Contexte... Soit $f$ la fonction définie sur ... (il faut donner, en justifiant, l'intervalle de définition de la fonction).

1. Montrer que la dérivée est $f'(x) = \dots$
2. Donner le tableau de variations
3. En déduire... (max / min / ensemble de solutions)
4. Démontrer que l'équation $f(x)= ... $ admet une solution sur l'intervalle ...
5. Conclure dans le contexte.

Les fleurs de Petite-Dent-en-Argent ⁽¹⁾  (par Nâaman, Samara, Anthony)

Soit un champs de fleur de la ville de Evry-Courcouronnes qui ont tendance à être de moins en moins belles au cours de l'année. Des experts en fleurs de la ville du 91 comme Petite-Dent-en-Argent et ses collègues du Bat 7 ont établi une note moyenne des fleurs du champs (noté sur 10) en fonction des mois.

On a réussi à modéliser une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1\,; 12]$ exprimant les notes données par Petite-Dent-en-Argent et ses collègues qui s'exprime par la formule :

$f(x) =\dfrac{3,14 x - 2,5 + 2 \ln(34,5 x)}{x}$

1. Montrer que la dérivée est $f'(x)=\dfrac{4,5 - 2\ln(34,5x)}{x^2}$.

   $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$, sa dérivée $f'(x)$ sera de la forme: $\dfrac{u' v - u v'}{v^2}$ avec $u(x)= 3,14x -2,5 + 2 ln(34,5x)$ et $v(x) = x$

   • $u$ est de la forme $u_1+v+w$, sa dérivée sera donc de la forme $u_1'+v'+w'$
   • $u_1(x) = 3,14 x$, donc $u_1'(x)=3,14$.
   • $v(x) = -2,5$, donc $v'(x)=0$.
   • $w(x) = 2\ln(34,5 x)$, donc $w'(x)=2 \times \dfrac{34,5}{34,5 x} = \dfrac2x$.

   donc $u'(x) = 3, 14 x +\dfrac{2}{x}$ et $v'(x)=1$ ; ...

2. Donner le tableau de variations de $f$.

   On cherche le signe de $f'(x)$ : On sait que tout réel élevé au carré est positif. Le signe de la dérivée est donc celui de l'expression : $4,5- 2 \ln(34,5x)$.

   On sait que $2 \ln(34,5x)$ est supérieur à $4,5$ (par calculatrice). il faut résoudre l'inéquation $4,5- 2 \ln(34,5x) > 0$ sur $[1\,; 12]$ !!

3. En déduire les valeurs extrêmes sur cette intervalle.

   Sur l'intervalle $[1\,;12]$, le maximum se trouve à $x=1$ avec $f(x)\approx 7,72$ et le minimum se trouve à $x=12$ avec $f(x) \approx 3,94$.

4. Démontrer que l'équation $f(x)=4,5$ admet une solution sur l'intervalle $[1\,;12]$.

   Sur l'intervalle $[1\,;12]$, la fonction est continue et décroissante . Sur cet intervalle, le maximum est atteint pour $x=1$, et $f(1) \approx 7,72$ et le minimum pour $x=12$ avec $f(12)\approx 3,94$.

   D'après le TVI, lorsque une fonction est continue sur un intervalle qui a pour deux extrêmes des valeurs entourant celle recherchée, alors il existe une solution à l'équation sur cet intervalle. Refoir la formulation

   Ici, les deux extrêmes sont 3,94 et 7,72. Étant donné que $4,5 \in [1\,;12]$, alors $f(x)=4,5$ à une solution sur cette intervalle.

   Par dichotomie, on trouve comme solution à l'équation $f(x)=4.5$ une valeur se situant sur l'intervalle [5;7]. Affiner la solution.

5. Conclure dans le contexte Préciser ce qui est attendu...

   On peut en conclure que entre le mois de mai et le mois de juillet (respectivement le 5eme et 7eme mois de l'année), les fleurs avaient une note avoisinant les 4,5/10 ; c'est-à-dire que selon Petite-Dent-en-Argent et ses collègues du Bat 7, les fleurs du 91 ne sont pas très belles (ou alors ils n'ont pas de très bon goût on ne sait jamais)⁽²⁾.

Le jardin de Madame Lapinette (par Mana, Nihel, Melina et Jana)

C'est le printemps, et dans le jardin enchanté de Madame Lapinette, les fleurs éclosent dans une symphonie de couleur. Madame Lapinette observe la croissance des tulipes, et souhaite étudier mathématiquement la relation entre la hauteur des tulipes magiques et le temps écoulé en heure depuis leur plantation.

Elle travaille sur la fonction $f(x) = 3,14 + \dfrac{11}{x} + 30\dfrac{\ln(1,5x)}{x}$, définie sur $]0 ; +\infty[$.

1. Montrer que la dérivée est $f'(x)=\dfrac{-11 - 30\ln(1,5x)}{x^2}$. ce n'est pas exactement cette expression.

   $f$ est une somme de fonctions :

   • la dérivée de $x \mapsto \dfrac{11}x$ est $x \mapsto -11 \times \dfrac1{x^2}$
   • la fonction $x \mapsto \dfrac{\ln(1,5 x)}x$ est de la forme $x \mapsto \dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = \ln(1,5 x)$ et donc $u'(x) = 1,5 \ln(1,5 x)$
2. Dresser le tableau de variations. Vérifier la cohérence entre le graphique et le tableau

   $f'(x)$ est du signe du numérateur : il faut donc résoudre une inéquation avec un logarithme...

3. Démontrer que $f(x)=27$ admet une solution sur l'intervalle $[1;3]$. sur cet intervalle, l'équation admet deux solutions...

   Pour démontrer l'existence des solutions, il faut utiliser le TVI.

   On peut trouver des valeurs approchées des solutions en utilisant une méthode par balayage.

4. Au bout de combien de temps suite à la plantation la tulipe est-elle à sa hauteur maximale ? Quelle est sa hauteur maximale ?

   S'aider des questions précédentes...

   Penser à convertir une heure décimale en heure, minute : 1,3 heures = 1 h 20 min

Chocolat de Pâques (par Alizéa, Cindy et Léa N'or)

À l'approche de Pâques, une chocolaterie propose une promotion spéciale sur ses œufs en chocolat.

Le prix d'un œuf en chocolat dépend de son poids en grammes, il est modélisé par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;100]$ où $f(x)$ représente le prix en euro d'un œuf faisant $x$ grammes.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;100]$ par :

\[ f(x)=0,3 - \dfrac2x + 3,14 \times \dfrac{\ln(1,2x)}x \]

1. Montrer que la dérivée de $f$ est $f'(x) = $ revoir exprssion proposée

   en dérivant terme à terme :

   • la dérivée de $x \mapsto 0,3$ est $x \mapsto 0$ (dérivée d'une fonction constante)
   • la dérivée de $x \mapsto -\dfrac2x$ est $x \mapsto -2 \times \dfrac{-1}{x^2} = \dots$
   • puis dérivée d'une fonction de la forme $\ln(u)$.
2. Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
   Penser à comparer les résultats calculés avec la représentation graphiques.
3. Montrer que l'équation $f(x)= ? $ admet une solution sur l'intervalle $[1\,; +\infty[$.
   Utilisation du TVI vérifier que la fonction est monotone sur l'intervalle proposé.

Floraison en avril (par Salah, Adrien et Gino)

Chaque printemps, la végétation repousse, cette année nous avons trouvé une fonction qui représente la floraison progressive au cours du mois d'avril.

1. Montrer que la dérivée est $f'(x)=\dfrac{30,3-21\ln(3,14x)}{x^2}$
   $f$ est de la forme $\dfrac{u(x)}{v(x)}$
2. Donner le tableau de variations de $f$.
   Etude du signe de la fonction dérivée.
3. En déduire à partir du début de la végétalisation, quel jour aura la végétation la plus forte. revoir la formulation.
   revoir l'échelle pour avoir un modèle plus crédible : "durant le deuxième jour"...
4. Démontrer que l'équation $f(x)=\frac{57,53x-9,3+21\ln{(3,14x)}}{x}$ = 20 admet une unique solution (notée α) sur l'intervalle $]0;+\infty[$ pourquoi 20 ? Il faudrait étudier que la limite de la fonction en $+\infty$ ou travailler sur un intervalle borné.
   Recherche par dichotomie.

Bac blanc pour les courageux (par Sofiane, Victoria, Adam et Gabrielle)

Elle représente la fréquence en pourcentage des mots du champ lexical de la nature (au printemps) en fonction du numéro de la page divisé par 10 (les poèmes commencent à la page 42 et terminent à la page 550).

1. Montrer que la dérivée de la fonction $f$ est $f'(x)=\dfrac{1\,228 - 368 \ln(3,14 x)}{x^2}$.
   $f$ est de la forme $\dfrac{u(x)}{v(x)}$
2. Donner le tableau de variations de $f$.

   pour tout $x \in [4,2\,; 55], x^2 > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $1\,228 - 368 \ln(3,14 x)$.

   $f'(x) > 0 \Leftrightarrow 1\,228 - 368 \ln(3,14 x) > 0$

3. En déduire le numéro de la page correspondant au poème où Victor Hugo était le plus proche de la nature et heureux.

   Il faut donc trouver la valeur de $x$ qui maximise la fonction $f$

   Penser à interpréter dans le contexte...

4. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[9\,; 55]$.

   Utilisation du T.V.I.

5. Interpréter dans le contexte. Expliciter ce qu'il faut conclure...

Exercice 243 (par Fayad, Aronne et Joseph)

Cette fonction représente la variation de la moyenne de la hauteur des flaques d'eau pendant l'hiver.

Maya l'abeille (par Hélène, Alice, Pauline, Thémis et Pavina )

Maintenant que le printemps est arrivé, les petites abeilles (dont Maya l'abeille) vont de fleurs en fleurs pour butiner les fleurs de jasmin sous le beau soleil.

1. Montrer que la dérivée de la fonction $h$ est $h'(x)=-\dfrac{4,6}{x^2} - \pi \times \dfrac{1 -\ln(1,7 x)}{x^2}$.
   $h$ est de la forme $u(x) + v(x) + w(x)$ avec $u(x) = -0,5$ ; $v(x) = \dfrac{4,6}x$ et $w(x) = \pi \times \dfrac{\ln(1,7 x)}{x}$.
2. Donner le tableau de variations de $h$.

   pour tout $x \in ]0\,; 35[, x^2 > 0$, donc $h'(x)$ est du signe de $-4,6 - \pi (1 - \ln(1,7 x))$.

   $h'(x) > 0 \Leftrightarrow -4,6 - \pi + \pi \ln(1,7 x) > 0$

3. En déduire le maximum de la fonction $h$.
   Lecture du tableau de variations
4. Démontrer que l'équation $h(x) = 5,8$ admet une solution sur l'intervalle $\left[ \frac1{1,7}\,; 35\right[$. pourquoi cette valeur ? à quoi correspond-t-elle ?
   Utilisation du T.V.I.
5. Conclure dans le contexte. conclure quoi ?

Allergies (par Rachel, Danielle et Gwendoline)

Au printemps de nombreuses personnes sont allergiques au pollen que rejettent les fleurs et les arbres. Cette situation s'accentue et empire chaque année. Contre cela, notre laboratoire Radagwen a mis au point un traitement médical. Il est testé à l'échelle des habitants de Lognes afin de supprimer leur allergies aux pollen.

Nous cherchons les résultats suite au traitement.

1. Montrer que la dérivée de la fonction $f$ est $f'(x)=\dfrac{-21 -4 \ln(8 x)}{x^2}$.
   $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$
2. Donner le tableau de variations de la fonction $f$.

   pour tout $x \in ]0\,; 15\,000[, x^2 > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $-21 - 4 \ln(8 x)$.

   $f'(x) > 0 \Leftrightarrow -21 -4 \ln(8 x) > 0$

3. En déduire à quel moment (heure), le nombre de personnes allergiques est le plus élevé. revoir l'échelle de temps
   Lire le tableau de variations...
4. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ n'admet qu'une unique solution dans $\left[ e^{\frac{-21}4 - \ln(8)} \,; 15\,000\right[$ revoir la question
   Utilisation du T.V.I.

Le printemps (par Sidi et Jalis)

Le printemps arrive, Jean a planté des graines. Il veut savoir si ses fleurs vont pousser et à quelle allure. en fonction de quoi ?

1. Montrer que la dérivée de la fonction $f$ est $f'(x)=\dfrac{-4 + 5,5 \ln(3,14 x)}{x^2}$.
   $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$
2. Donner le tableau de variations de la fonction $f$.

   pour tout $x \in ]0\,; +\infty[, x^2 > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $-4 + 5,5 \ln(3,14 x)$.

   $f'(x) > 0 \Leftrightarrow -4 + 5,5 \ln(3,14 x) > 0$

3. Démontrer que l'équation $f(x)=4$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0,5 \,; 2]$.
   Il faut utiliser le T.V.I., mais attention : le sens de variation ne doit pas changer sur l'intervalle : donc à faire en deux fois !
4. Conclure dans le contexte conclure quoi ?