Exercices : Fonctions trigonométriques

• p.213 nº 3
• p.213 nº 4
• p.222 nº 39
• p.223 nº 48
• p.225 nº 68
• p.226 nº 80
• p.228 nº 94
• p.227 nº 89

p.213 nº 3

réels associés à un point

p.213 nº 4

Trouve l'intrus

1. a) $0$ ; b) $2\pi$ ; c) $-5\pi$ ; d) $-6\pi$ ;
   Aide

   Deux réels $\alpha$ et $\beta$ sont au même endroit sur le cercle trigonométrique s'ils différents d'un multiple de $2\pi$.

   Autrement dit : il existe $k \in\setZ$ tel que $\beta = \alpha + k \times 2\pi$.

   On peut s'aider de dessins !

   

   Solution

   l'intrus est $-5\pi$ ; en effet $0$ est à la même position que $2\pi$, car $2\pi = \color{red}{1} \times 2\pi$ ; et que $-6\pi$, car $-6\pi = \color{red}{-3} \times 2\pi$.

2. a) $\dfrac{\pi}2$ ; b) $\dfrac{3\pi}2$ ; c) $-\dfrac{3\pi}2$ ; d) $\dfrac{5\pi}2$ ;
3. a) $\dfrac{3\pi}4$ ; b) $-\dfrac{5\pi}4$ ; c) $\dfrac{7\pi}4$ ; d) $\dfrac{11\pi}4$ ;
4. a) $\dfrac{\pi}3$ ; b) $-\dfrac{4\pi}3$ ; c) $-\dfrac{5\pi}3$ ; d) $\dfrac{7\pi}3$ ;

p.222 nº 39

Donner la valeur associée en radians

1. Valeurs dans $[0\,;2\pi[$.
   Aide

   On peut s'aider de dessins !

   

   sur $\color{red}{[-\pi\,; \pi[}$, l'angle $\alpha$ est associé au réel $\dfrac{3\pi}4$ et l'angle $\beta$ au réel $-\dfrac{\pi}2$

   sur $\color{blue}{[0\,; 2\pi[}$, l'angle $\alpha$ est associé au réel $\dfrac{3\pi}4$ et l'angle $\beta$ au réel $\dfrac{3\pi}2$

   Solution

   • $45^\circ$ est associé à $\dfrac{\pi}4$
   • $150^\circ$ est associé à $\dfrac{5\pi}6$
   • $60^\circ$ est associé à $\dfrac{5\pi}3$
2. Valeurs dans $[-\pi\,;\pi[$.
   Solution

   • $45^\circ$ est associé à $\dfrac{\pi}4$
   • $150^\circ$ est associé à $\dfrac{5\pi}6$
   • $60^\circ$ est associé à $-\dfrac{\pi}3$

p.223 nº 48

1. Vrai / Faux
   Aide

   On peut s'aider de dessins !

   si $\color{green}{x \in \left[\dfrac{\pi}2\,; \pi\right]}$ alors $\color{red}{\sin x \in [0\,; 1]}$ et $\color{blue}{\cos x \in [-1\,; 0]}$.

p.225 nº 68

Calculer la valeur exacte de $\cos x$

1. Aide

   • En utilisant la formule $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, on calcule la valeur exacte de $\cos^2 x$.

   • En utilisant un cercle trigonométrique, on peut déterminer le signe de $\cos x$

     

     si on ne connaît que la valeur de $\color{red}{\sin x}$, il y a deux réels possibles ; mais si on sait que $\color{green}{x \in \left[ \dfrac{\pi}2\,; \pi \right[}$, alors un seul réel $x$ est possible et on connaît aussi son cosinus !

   Solution

   $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{16}{25}$

   $x \in \left[ 0 \,; \dfrac{\pi}2 \right]$, donc $\cos x \geqslant 0$

   donc $\cos x = \dfrac45$.

2. Solution

   $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{16}{25}$

   $x \in \left[ \dfrac{\pi}2 \,; \pi \right]$, donc $\cos x \leqslant 0$

   donc $\cos x = -\dfrac45$.

3. Solution

   $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{21}{25}$

   $x \in \left[ \dfrac{3\pi}2 \,; 2\pi \right]$, donc $\cos x \geqslant 0$

   donc $\cos x = \dfrac{\sqrt{21}}5$.

p.226 nº 80

1. Valeur de $\sin a$.
   Aide

   • En utilisant la formule $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, on calcule la valeur exacte de $\cos^2 x$.

   • En utilisant un cercle trigonométrique, on peut déterminer le signe de $\cos x$

     

     si on ne connaît que la valeur de $\color{red}{\sin x}$, il y a deux réels possibles ; mais si on sait que $\color{green}{x \in \left[ \dfrac{\pi}2\,; \pi \right[}$, alors un seul réel $x$ est possible et on connaît aussi son cosinus !

   Solution

   $\cos^2 a + \sin^2 a = 1 \Leftrightarrow \sin^2 a = \dfrac{16}{25}$

   $a \in \left[ 0 \,; \dfrac{\pi}2 \right]$, donc $\sin a \geqslant 0$

   donc $\sin a = \dfrac45$.

2. a) $\cos(-a)$	b) $\sin(-a)$
   c) $\cos(\pi + a)$	d) $\sin(\pi + a)$
   e) $\cos(\pi - a)$	f) $\sin(\pi - a)$
   g) $\cos(a + 2\pi)$	h) $\sin(a + 2\pi)$

   Aide

   Utiliser la cercle trigonométrique et les symétries axiales et centrales

   

   figure gauche	figure droite
   $\color{blue}{\cos}(\color{brown}{\pi - \alpha}) = \color{blue}{-\cos}\color{green}{\alpha}$	$\color{blue}{\cos}(\color{brown}{\pi + \alpha}) = \color{blue}{-\cos}\color{green}{\alpha}$
   $\color{red}{\sin}(\color{brown}{\pi - \alpha}) = \color{red}{\sin}\color{green}{\alpha}$	$\color{red}{\sin}(\color{brown}{\pi + \alpha}) = \color{red}{-\sin}\color{green}{\alpha}$

p.228 nº 94

1. Résoudre sur $[-\pi\,; \pi]$ : $\cos x \geqslant \dfrac12$.
   Aide

   Tous les réels $x$ associés aux points de l'arc de cercle rouge vérifient $\cos x \geqslant \dfrac12$.

   À l'aide du schéma déterminer les réels associés aux extrémités de l'arc de cercle rouge.

   Solution

   les réels de $[-\pi\,; \pi]$ ayant pour cosinus $\dfrac12$ sont $-\dfrac{\pi}3$ et $\dfrac{\pi}3$.

   Donc $\cos x \geqslant \dfrac12 \Leftrightarrow x \in \left[-\dfrac{\pi}3 \,; \dfrac{\pi}3 \right]$

2. 1. Résoudre sur $[-\pi\,; \pi]$ : $\sin x > \dfrac12$.
      Aide

      
      Solution

      les réels de $[-\pi\,; \pi]$ ayant pour sinus $\dfrac12$ sont $\dfrac{\pi}6$ et $\dfrac{5\pi}6$.

      Donc $\cos x > \dfrac12 \Leftrightarrow x \in \left]\dfrac{\pi}6 \,; \dfrac{5\pi}6 \right[$

   2. Résoudre sur $[-\pi\,; \pi]$ : $\cos x < -\dfrac{\sqrt2}2$.
      Aide

      
   3. Résoudre sur $[-\pi\,; \pi]$ : $\sin x \leqslant -\dfrac{\sqrt3}2$.
      Aide

      
      Solution

      les réels de $[-\pi\,; \pi]$ ayant pour sinus $-\dfrac{\sqrt3}2$ sont $-\dfrac{2\pi}3$ et $-\dfrac{\pi}3$.

      Donc $\sin x < -\dfrac{\sqrt3}2 \Leftrightarrow x \in \left[-\dfrac{2\pi}3\,; -\dfrac{\pi}3 \right]$

p.227 nº 89

1. Conjectures
   Aide

   

   on remarque une symétrie et un motif qui se répète.

   Solution

   parité

   La courbe semble symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la fonction serait paire

   périodicité

   la fonction semble π-périodique.

2. Démonstration
   Aide

   fonction paire : pour tout $x \in \setR : f(-x) = f(x)$.

   fonction π-périodique : pour tout $x \in \setR : f(x + \pi) = f(x)$

   Solution

   parité

   il faut vérifier que pour tout $x \in \setR : f(-x) = f(x)$.

   on sait que pour tout $x \in \setR : \cos(-x) = \cos(x)$, donc $(\cos(-x))^2 = (\cos(x))^2$ : la fonction $f$ est paire.

    

   périodicité

   il faut vérifier que pour tout $x \in \setR : f(x + \pi) = f(x)$

   on sait que pour tout $x \in \setR : \cos(x + \pi) = -\cos(x)$ donc $(\cos(x + \pi))^2 = (-\cos(x))^2 = (\cos(x))^2$ : la fonction $f$ est π-périodique.