Intégration et convexité : indice de Gini

• p.165 nº 43
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p.165 nº 43

p.165 nº 45

p.166 nº 46

p.166 nº 49

1. 1. Vérifier courbe de Lorenz (pour $f(x) \leqslant x$ une justification à l'aide du graphique suffit.)
      Aide

      • $L(0) = 0$ et $L(1) = 1$
      • $L$ croissante et convexe sur $[0\,; 1]$
      • sur $[0\,; 1]$, $L(x) \leqslant x$
      Solution

      $f(0) = 0,25 \times 0^3 + 0,25 \times 0^2 + 0,5 \times 0 = 0$ et $f(1) = 0,25 \times 1^3 + 0,25 \times 1^2 + 0,5 \times 1 = 1$

      Par lecture graphique $\mathscr C$ est sous la droite d'équation $y=x$, donc $f(x) \leqslant x$.

      pour vérifier que $f$ est croissante, il faut étudier le signe de la fonction dérivée.

      $f'(x) = 0,25 \times 3 x^2 + 0,25 \times 2 x + 0,5 = 0,75 x^2 + 0,5 x + 0,5$

      • $f'$ est un polynôme du second degré ;
      • la parabole est orientée «vers le haut » car le coefficent de $x^2$ est positif ;
      • $\Delta = 0,5^2 - 4 \times 0,75 \times 0,5 < 0$ donc $f'(x)$ ne s'annule pas
      • pour tout $x \in [0\,; 1]$, $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $[0\,; 1]$.

      donc $\mathscr C$ est une courbe de Lorenz.

   2. Calcul de $I = \dint_0^1 f(x) dx$
      Aide

      Il faut trouver une primitive de $f$.
2. 1. $g(0)$ et $g(1)$
      Aide

      Il faut détailler un minimum et rappeler que $\e^0 = 1$...
      Solution

      $g(0) = \dfrac{\e^{3 \times 0}- 1}{\e^3 - 1} = \dfrac{1 -1}{\e^3 - 1} = 0$

      $g(1) = \dfrac{\e^{3 \times 1}- 1}{\e^3 - 1} = \dfrac{\e^3 -1}{\e^3 - 1} = 1$

   2. Croissance et convexité de $g$.
      Aide

      • croissante : dérivée positive
      • convexe : dérivée seconde positive
      • remarquer que $\e^3 - 1$ est une constante !
      Solution

      Dérivée

      $g(x) = \dfrac{\e^{3x} - 1}{\e^3 - 1} = \dfrac1{\e^3 - 1} \left( \e^{3x} - 1 \right)$

      $g'(x) = \dfrac1{\e^3 - 1} \times 3 \times \e^{3x} = \dfrac3{\e^3 - 1} \times \e^{3x}$

      Or pour tout $y \in \setR : \e^y > 0$, donc $\e^{3x}>0$ ; $f'(x)$ est donc du signe de $\dfrac3{\e^3 - 1}$ qui est positif ; donc $f$ est croissante sur $[0\,; 1]$.

       

      Dérivée seconde

      $g'(x) = \dfrac3{\e^3 - 1} \times \e^{3x}$

      $g''(x) = \dfrac3{\e^3 - 1} \times 3 \times \e^{3x} = \dfrac9{\e^3 - 1} \times \e^{3x}$

      comme $\e^{3x} > 0$, $f''(x)$ est donc du signe de $\dfrac9{\e^3 - 1}$ qui est positif; donc $f''$ est positive sur $[0\,; 1]$ est $f$ est convexe sur $[0\,; 1]$.

   3. Justifier tableau.
      Aide

      commencer par obtenir l'expression des dérivées successives de $h$ en fonction de celles de $g$.
      Solution

      dérivées successives de $h$

      $h(x) = g(x) - x$

      $h'(x) = g'(x) - 1$

      $h''(x) = g''(x)$

       

      donc $h''(x) >0$ et $h'$ est croissante.

      $h'(0) = g'(0) - 1 < 0$ et $h'(1) = g'(1) - 1 > 0$; $h'$ est continue, croissante et change de signe sur $[0\, 1]$, donc il existe un réel $\alpha$ de $[0\,;1]$ tel que $h'(\alpha)=0$.

      $h(0) = g(0)- 0 = 0$ et $h(1) = g(1) - 1 = 0$, donc pour tout $x \in [0\,; 1], h(x) \leqslant 0$

      $h(x) \leqslant 0 \Leftrightarrow x - g(x) \leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant g(x)$

   4. Justifier courbe de Lorenz.
      Aide

      Voir aide du 1a)
      Solution

      • $g(0) 0$ et g(1) = 1$
      • $g$ croissante et convexe sur $[0\, 1]$
      • $g(x) \leqslant x$ sur $[0\,; 1]$

      donc $\Gamma$ est une courbe de Lorenz.

   5. Intégrale.
      Aide

      Remarquer que $g(x) = \dfrac1{\e^3 - 1} \left( \e^{3x} - 1\right)$ et que $\dfrac1{\e^3 - 1}$ est une constante.
      Solution

      $g(x) = \dfrac1{\e^3 - 1} \left( \e^{3x} - 1\right)$

      on sait que $x \mapsto \e^{ax + b}$ a pour dérivée $x \mapsto a \e^{ax + b}$ ; donc une primitive de $x\mapsto \e^{3x}$ est $x \mapsto \dfrac13 \e^{3x}$.

      une primitive $G$ de $g$ est : $G = \dfrac1{\e^3 - 1} \left( \dfrac13 \e^{3x} - x\right)$

       

      $\dint_0^1 g(x) dx = G(1) - G(0) = \dfrac13 \times \dfrac{\e^3 - 4}{\e^3 - 1}$

3. Indices de Gini.
   Aide

   $G = 1 - 2 \dint_0^1 f(x) dx$.
4. Interprétation (questions 4a et 4b)
   Aide

   L'indice de Gini est un réel de $[0\,; 1]$, qui représente l'aire entre la coube de Lorenz et la droite d'équation $y=x$.

   Plus il est proche de 0, plus la répartition est égalitaire.

   Solution

   L'entreprise A (courbe $\mathscr C$) a un indice de Gini plus faible que l'entreprise B (courbe $\mathscr \Gamma$).

   Cela se voyait sur le graphique si on colorie les domaines associés.