Fermat : p. 134

Soit le segment $[AC]$. Déterminer la position du point $E$ sur $[AC]$ telle que le rectangle de longueur $AE$ et de largeur $EC$ ait une aire maximale.

modélisation pb page 134

Soit $\mathscr A$ l'aire du rectangle : $\mathscr A(x) = (1 -x) \times x$ avec $x = AE$, donc $x \in [0\,;1]$

On cherche $x$ tel que $\mathscr A(x)$ soit maximale.

$\mathscr A(x) = x - x^2$

on reconnaît un polynôme de degré 2 (de la forme $ax^2+ bx + c$) avec $a=-1$, $b=1$ et $c=0$. Comme $a<0$ la sommet de la parabole représente le maximum de la fonction. L'abscisse du maximum est donné par $x_0 = - \dfrac{b}{2a} = \dfrac12$

remarque géométrique : de tous les rectangles de même périmètre, celui qui a la plus grand surface est le carré.

Fermat : p 140

Soit le segment $[AC]$. Déterminer la position du point $B$ sur $[AC]$ telle que le solide ayant pour base le carré de côté $AB$ et de hauteur la longueur $BC$ ait un volume maximal.

modélisation pb page 140

posons $\mathscr V(x)$ le volume du solide, avec $x = AB$ et $x \in [0\,;1]$.

$\mathscr V(x) = x \times x \times (1 - x)$

à faire :

• expression développée
• tracer la fonction à l'aide un logiciel
• lire les coordonnées du maximum