Espérance
moyenne (stats) / espérance (probas)
| \(X = x_i\) | \(x_0\) | \(x_1\) | \(x_2\) | ... | \(x_n\) |
| \(P(X = x_i)\) | \(p_0\) | \(p_1\) | \(p_2\) | ... | \(p_n\) |
moyenne (stats)
\(\bar{x} = \dfrac{p_0 \times x_0 + p_1 \times x_1 + \dots + p_n \times x_n}{p_0 + p_1 + \dots +p_n}\)
\(\bar{x} = \dfrac{\sum_{k=0}^{n} p_k \times x_k}{\sum_{k=0}^{n} p_k}\)
espérance (probas) \(E(X) = \dfrac{\sum_{k=0}^{n} p_k \times x_k}{\sum_{k=0}^{n} p_k}\)
or les \(p_k\) représentent des probabilités, et on sait la somme des probabilités vaut \(1\), c'est à dire \(\sum_{k=0}^{n} p_k = 1\)
donc \(E(X) = \dfrac{\sum_{k=0}^{n} p_k \times x_k}{1} = \sum_{k=0}^{n} p_k \times x_k\)
exemple (ivrogne) : \(E(Y) \sum_{k=0}^{n} p_k \times y_k\)
donc \(E(Y) = 0 \times \dfrac{5}{16} + 1
\times \dfrac{5}{16} + 2 \times \dfrac{5}{32} + 3 \times \dfrac{5}{32}
+ 4 \times \dfrac{1}{32} + 5 \times \dfrac{1}{32}\)
\(E(Y) = \dfrac{44}{32} \approx 1,375\)
Ecart-type
exemple (ivrogne) on sait \(E(Y)=\dfrac{44}{32}\)
Voir tableur Xcas ou calculatrices
donc \(V(Y) = \dfrac{111}{64}\) d'où \(\sigma(Y) = \sqrt{\dfrac{111}{64}} \approx 1,317\)