Linéarité de l'espérance.
| \(X=k\) | \(x_1\) | \(x_2\) | ... | \(x_n\) |
| \(P(X=k)\) | \(p_1\) | \(p_2\) | ... | \(p_n\) |
espérance : \(E(X) = p_1 \times x_1 + p_2 \times x_2 + \dots + p_n \times x_n\)
\(E(X) = \sum_{k=1}^n p_k \times x_k\)
Si la v.a. \(Y\) est obtenue par \(Y = a X + b\)
\(E(Y) = \sum_{k=1}^n p_k \times {\color{blue}{y_k}}\) (les probabilités \(p_k\) sont les mêmes que celle de la loi de \(X\))
\(E(Y) = \sum_{k=1}^n p_k \times {\color{blue}{(a \times x_k + b)}}\)
\(E(Y) = \sum_{k=1}^n a \times p_k \times x_k + p_k \times b\)
ce qui correspond à :
\(E(Y) = \begin{array}{lll} &a \times p_1 \times x_1 &+ p_1 \times b \\ +&a \times p_2 \times x_2 &+ p_2 \times b\\ +&a \times p_3 \times x_3 &+ p_3 \times b\\ +&\dots &+\dots\\ +&a \times p_n \times x_n &+ p_n \times b\\ \end{array}\)
En sommant les colonnes :
\(E(Y) = a (p_1 \times x_1 + p_2 \times x_2 + p_3 \times x_3 +\dots+ p_n \times x_n )\\+b(p_1 + p_2 +\dots+p_n )\)
\(E(Y) = a {\color{blue}{\sum_{k=1}^n p_k \times x_k}} + b {\color{red}{ \sum_{k=1}^n p_k}}\)
or on sait que \({\color{blue}{\sum_{k=1}^n p_k \times x_k}} = E(x)\)
et que \({\color{red}{ \sum_{k=1}^n p_k}} = 1\)
donc \(E(Y) = a E(X) + b\)
exemple
| \(X=x_i\) | -2 | 0 | 3 | 7 |
| \(P(X=x_i)\) | 0,1 | 0,5 | 0,2 | 0,2 |
\(E(X) = 0,1 \times (-2) + 0,5 \times 0 + 0,2 \times 3 + 0,2 \times 7 =1,8\)
si \(Y = 5 X + 1\)
donc la loi de \(Y\) est :
| \(Y=y_i\) | -9 | 1 | 16 | 36 |
| \(P(X=y_i)\) | 0,1 | 0,5 | 0,2 | 0,2 |
donc \(E(Y) = 0,1 \times (-9) + 0,5 \times 1 + 0,2 \times 16 + 0,2 \times 36 = 10\)
Une astuce ? (remarque)
\(E(Y) = 0,1 \times {\color{blue}{(-9)}} + 0,5 \times {\color{red}{1}} + 0,2 \times {\color{green}{16}} + 0,2 \times {\color{purple}{36}}\)
\(E(Y) = 0,1 \times {\color{blue}{(5 \times (-2) + 1)}} + 0,5 \times {\color{red}{(5 \times 0 + 1)}} + 0,2 \times {\color{green}{(5 \times 3 + 1)}} + 0,2 \times {\color{purple}{(5 \times 7 + 1)}}\)
\(E(Y) = \begin{array}{lll} &0,1 \times 5 \times (-2) &+ 0,1 \times 1\\ +& 0,5 \times 5 \times 0 &+ 0,5 \times 1\\ +& 0,2 \times 5 \times 3 &+ 0,2 \times 1\\ +& 0,2 \times 5 \times 7 &+ 0,2 \times 1\\ \end{array}\)
En sommant les colonnes : \(E(Y) = 5 \times (0,1 \times (-2) + 0,5 \times 0 + 0,2 \times 3 + 0,2 \times 7) \\ +(0,1 + 0,5 + 0,2 + 0,2)\)
on retrouve la formule : \(E(Y) = 5 \times E(X) + 1\)