fonctions dérivées
À chaque fonction \(f\) on associe sa fonction dérivée notée \(f'\).
La fonction dérivée permet d’obtenir les coefficients directeurs des tangente à la courbe de \(f\).
Rappel : l’équation la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\) est :
\(y=f'(a)(x-a) + f(a)\)
Le signe du nb. dérivé permet de connaître les variations de la fonction.
pour la boîte
application de la définition de la page 104.
- la fonction s’appelle \(V\)
- intervalle de définition \([0\,; 7,425]\)
- la fonction dérivée est \(V'\)
quelques fonctions dérivées
La fonction \(f(x) = x^{\color{red}{n}}\) avec \(n \in \mathbb{N}^*\) est dérivable et sa dérivée est \({f'(x) = {\color{red}{n}} x^{{\color{red}{n}}-1}}\).
exemples :
- \(n=2\) : \(f(x) = x^{\color{red}{2}}\), donc \({f'(x) = {\color{red}{2}} x^{{\color{red}{2}}-1}} = 2 x^1 = 2x\)
- \(n=3\) : \(f(x) = x^{\color{red}{3}}\), donc \({f'(x) = {\color{red}{3}} x^{{\color{red}{3}}-1}} = 3x^2\)
pour les très courageux, on peut retrouver ce résultat en calculant : \(\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \dots = 3a^2\)
Opérations sur les fonctions dérivées.
Problème
\(V(x) = 4x^3 - 71,7x^2 + 311,85x\)
\(V\) est la somme de trois fonctions :
\(f(x) = 4x^3\) ; \(g(x) = - 71,7x^2\) et \(h(x) = 311,85x\)
Opérations
On peut faire des opérations avec les fonctions dérivées !
- si \(f(x) = u(x) + v(x)\) alors \(f'(x) = u'(x) + v'(x)\) (*)
- si \(f(x) = k \times u(x)\) , alors \(f'(x) = k \times u'(x)\) (\(k \in \mathbb{R})\) (**)
Exemple
\(V(x) = 4x^3 - 71,7x^2 + 311,85x\)
\(V\) est la somme de trois fonctions :
\(f(x) = 4x^3\) ; \(g(x) = - 71,7x^2\) et \(h(x) = 311,85x\)
on sait (*) : \(V'(x) = f'(x) + g'(x) + h'(x)\)
On cherche la fonction dérivée de chacune des fonctions
\(f(x) = 4x^3\) en utilisant (**) : \(f(x) = k \times u(x)\) alors \(f'(x) = k \times u'(x)\).
En identifiant : \(k=4\) et \(u(x) = x^3\) et \(u'(x) = 3x^2\) ;
donc \(f'(x) = 4 \times 3x^2 = 12x^2\)
\(g(x) = - 71,7x^2\)
en utilisant (**) : \(g(x) = k \times u(x)\) alors \(g'(x) = k \times u'(x)\).
En identifiant : \(k=-71,7\) et \(u(x) = x^2\) et \(u'(x) = 2x\) ;
donc \(g'(x) = -71,7 \times 2x = -143,4 x\)
\(h(x) = 311,85x\)
\(h\) est une fonction affine de la forme \(h(x) = mx +p\) avec \(m = 311,85\) et \(p=0\), donc \(h'(x) = 311,85\)
Conclusion
\(V'(x) = f'(x) + g'(x) + h'(x)\)
\(V'(x) = 12x^2 -143,4 x + 311,85\)
On admet que le volume de la boîte est maximal quand \(V'(x) = 0\)
On retrouve notre ami le polynôme du second degré ;-)
On cherche \(x \in [0\,; 7,425]\) tel que \(12x^2 -143,4 x + 311,85 = 0\)
de la forme \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a = 12\) ; \(b=-143,4\) et \(c=311,85\).
pas de racine évidente, on calcule \(\Delta = b^2 - 4ac\), puis \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
on trouve \(x_1 = \dfrac{-\sqrt{15541} + 239}{40} \approx 2,86\) et \(x_2 = \dfrac{\sqrt{15541} + 239}{40} \approx 9,09\)
or on travaille sur \([0\,; 7,425]\), donc la boîte qui donne le volume maximum a bord d’environ 2,86 cm et ce volume vaut environ 399 \(cm^3\).