dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine.
Soit f définie par f(x)=g(mx+p), alors f′(x)=m×g′(mx+p)
exemples
avec une fonction racine carrée
f(x)=√4x+3
f est la composée de g(x)=√x et d'une fonction affine x↦4x+3 avec m=4 et p=3.
on sait que g′(x)=12√x
donc f′(x)=4×12√4x+3=2√4x+3
car la formule dit g′(mx+p)
avec une fonction puissance
f(x)=(4x−5)3
deux possibilités :
- voir f comme un produit : f(x)=(4x−5)×(4x−5)2=(4x−5)×(16x2−40x+25)
- voir f comme une fonction composée : avec g(x)=x3 et une fonction affine x↦4x−5
on sait que g′(x)=3x2, donc f′(x)=4×3×(4x−5)2=12(4x−5)2
Variations d'une fonction
On cherche les variations d'une fonction f, pour cela il faut étudier le signe de la fonction dérivée f′.
Attention à f′(x)=0
- exemple de la boîte : V(x)=x(21−2x)(14,85−2x) ... étude ... on a trouvé que V′(x)=0 admet une solution [0;7,425], on a conclu à la présence d'un maximum local, car la fonction était croissante (dérivée positive) puis décroissante (dérivée négative).
- f(x)=(x−3)3+100 a pour dérivée f′(x)=3(x−3)2 qui ne change pas signe (toujours positive) donc la valeur qui annule la dérivée (x=3) N'EST PAS l'abscisse d'un extremum.
justification de la dérivée de f
on reconnaît une fonction composée avec g(x)=x3 (avec g′(x)=3x2) et la fonction affine x↦x−3 (avec m=1), donc f′(x)=1×3(x−3)2+0=3(x−3)2 (le 0 est la dérivée de 100).
on remarque que f′ s'annule en 3 et est toujours positive.
tableau de variations de f
on a f(x)=(x−3)3+100 et donc le tableau de variations :
