dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine.
Soit \(f\) définie par \(f(x) = g({\color{blue}{mx +p}})\), alors \(f'(x) = m \times g'({\color{blue}{mx +p}})\)
exemples
avec une fonction racine carrée
\(f(x)=\sqrt{4x+3}\)
\(f\) est la composée de \(g(x) = \sqrt{x}\) et d'une fonction affine \(x \mapsto 4x + 3\) avec \(m=4\) et \(p=3\).
on sait que \(g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
donc \(f'(x) = 4 \times \dfrac{1}{2\sqrt{{\color{blue}{4x +3}}}} = \dfrac{2}{\sqrt{{\color{blue}{4x +3}}}}\)
car la formule dit \(g'({\color{blue}{mx +p}})\)
avec une fonction puissance
\(f(x) = (4x - 5)^3\)
deux possibilités :
- voir \(f\) comme un produit : \(f(x) = (4x - 5) \times (4x - 5)^2 = (4x - 5) \times (16x^2 -40x+25)\)
- voir \(f\) comme une fonction composée : avec \(g(x) = x^3\) et une fonction affine \(x \mapsto 4x - 5\)
on sait que \(g'(x) = 3x^2\), donc \(f'(x) = 4 \times 3 \times (4x - 5)^2 = 12(4x -5)^2\)
Variations d'une fonction
On cherche les variations d'une fonction \(f\), pour cela il faut étudier le signe de la fonction dérivée \(f'\).
Attention à \(f'(x) = 0\)
- exemple de la boîte : \(V(x)=x(21 - 2x)(14,85 -2x)\) ... étude ... on a trouvé que \(V'(x)=0\) admet une solution \([0\,; 7,425]\), on a conclu à la présence d'un maximum local, car la fonction était croissante (dérivée positive) puis décroissante (dérivée négative).
- \(f(x) = (x - 3)^3 + 100\) a pour dérivée \(f'(x) = 3(x-3)^2\) qui ne change pas signe (toujours positive) donc la valeur qui annule la dérivée (\(x=3\)) N'EST PAS l'abscisse d'un extremum.
justification de la dérivée de \(f\)
on reconnaît une fonction composée avec \(g(x) = x^3\) (avec \(g'(x)=3x^2\)) et la fonction affine \(x \mapsto x - 3\) (avec \(m=1\)), donc \(f'(x) = 1 \times 3 (x - 3)^2 + {\color{blue}{0}} = 3 (x - 3)^2\) (le \({\color{blue}{0}}\) est la dérivée de \(100\)).
on remarque que \(f'\) s'annule en \(3\) et est toujours positive.
tableau de variations de \(f\)
on a \(f(x) = (x - 3)^3 + 100\) et donc le tableau de variations :
