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   Frédéric Léon -- MATHS -- E. Brontë

dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine.

Soit f définie par f(x)=g(mx+p), alors f(x)=m×g(mx+p)

exemples

avec une fonction racine carrée

f(x)=4x+3

f est la composée de g(x)=x et d'une fonction affine x4x+3 avec m=4 et p=3.

on sait que g(x)=12x

donc f(x)=4×124x+3=24x+3

car la formule dit g(mx+p)

avec une fonction puissance

f(x)=(4x5)3

deux possibilités :

on sait que g(x)=3x2, donc f(x)=4×3×(4x5)2=12(4x5)2

Variations d'une fonction

On cherche les variations d'une fonction f, pour cela il faut étudier le signe de la fonction dérivée f.

Attention à f(x)=0

justification de la dérivée de f

on reconnaît une fonction composée avec g(x)=x3 (avec g(x)=3x2) et la fonction affine xx3 (avec m=1), donc f(x)=1×3(x3)2+0=3(x3)2 (le 0 est la dérivée de 100).

on remarque que f s'annule en 3 et est toujours positive.

tableau de variations de f

on a f(x)=(x3)3+100 et donc le tableau de variations :

tableau variation fct tjs croissants

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