la fonction \(h\)
on sait que pour tout \(x\) réel, \(f(x) = f'(x)\) et \(f(0)= 1\).
on définit la fonction \(h\) sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = f(x) \times f(-x)\).
une image
on remarque que l'image de \(0\) est :
\(h(0) = f(0) \times f(-0) = 1 \times f(0) = 1 \times 1 = 1\)
variations de \(h\)
Pour connaître les variations de \(h\), il faut calculer sa dérivée.
\(h\) est de la forme \(u \times v\) donc \(h'\) est de la forme \(u' v + u v'\)
on sait que
- \(u(x) = f(x)\), donc \(u'(x) = f'(x)\) mais \(f = f'\), donc \(u'(x) = f(x)\).
- \(v(x) = f(-x)\), donc c'est la composée de \(f\) avec la fonction affine \(x \mapsto -x\); on sait alors que \(v'(x) = -1 \times f'(-x)\), or \(f = f'\), donc \(v'(x) = -1 \times f(-x) = -f(-x)\)
on calcule \(h'\)
\(h'(x) = \underbrace{f(x)}_{u'} \times \underbrace{f(-x)}_{v} + \underbrace{f(x)}_{u} \times \underbrace{(-f(-x))}_{v'}\)
\(h'(x) = f(x) \times f(-x) - f(x) \times f(-x) = 0\)
donc \(h\) est une fonction constante (seules les fonctions constantes ont une dérivée nulle).
\(h\) est une fonction constante signifie que quelque soit \(x\), \(h(x)\) = constante. Mais \(h(0) = 1\), donc qqsoit \(x\), \(h(x)=1\)