forme développée
\(f(x)=a x^2 + b x +c\)
idée : changer un paramètre à la fois.
| a | b | c | \(f(x)\) | courbe |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | \(f(x) = x^2\) | parabole : forme \(\cup\) |
| > 0 | 0 | 0 | \(f(x) = a x^2\) | parabole : forme \(\cup\) |
| < 0 | 0 | 0 | \(f(x) = a x^2\) | parabole : forme \(\cap\) |
| \(a\) quelconque | un réel | 0 | \(f(x) = a x^2 + b x\) | parabole : forme déterminée par \(a\) |
| \(a\) quelconque | 0 | un réel | \(f(x) = a x^2 + c \) | parabole translatée |
| 1 | 1 | 1 | \(f(x) = x^2 + x + 1\) | parabole : forme \(\cup\) |
bilan :
- la valeur de \(a\) "contracte" ou "dilate" la parabole
- le signe de \(a\) permet de connaître l'orientation de la parabole :
- si \(a>0\), la parabole est orientée "vers le haut"
- si \(a<0\), la parabole est orientée "vers le bas"
- la valeur de \(b\) ??
- la parabole \(y = ax^2\) est translatée par le vecteur \(c \vec{\jmath}\) (traditionnellement l'axe des abscisses est porté par le vecteur \(\vec{\imath}\), dont la norme vaut \(1\) et l'axe des ordonnées est porté par le vecteur \(\vec{\jmath}\) dont la norme vaut \(1\).)
forme canonique de \(f\)
\(f(x) = a (x- \alpha)^2 + \beta\)
le rôle de \(a\) est le même :
- son signe donne l'orientation de la parabole
plus \(a\) s'éloigne de \(0\), plus la parabole se "dilate".
- \(\alpha\) translate la parabole d'équation \(y = ax^2\) suivant le vecteur \(\vec{\imath}\)
\(\beta\) translate la parabole d'équation \(y = ax^2\) suivant le vecteur \(\vec{\jmath}\)