Exercice 1
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = ( 1 - x)e^{- x}\)
1. Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).
- \(f(0) = ( 1 - 0)e^{- 0} = 1 \times e^{0} = 1\)
- \(f(1) = ( 1 - 1)e^{- 1} = 0\)
2. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)\) peut s'écrire sous la forme : \(f'(x) = (mx + p)e^{-x}\)
- \(f\) est de la forme \(u(x) \times v(x)\)
- la dérivée de \(e^{mx + p}\) est de la forme : \(m \times e^{mx + p}\)
- \(u(x) = 1 - x\), donc \(u'(x) = -1\)
- \(v(x) = e^{-x}\), donc \(v'(x) = -1 \times e^{-x}\)
- donc \(f'(x) = -1 \times e^{-x} + (1 - x) \times (-1) e^{-x} = (-2 + x) e^{-x}\)
3. Déterminer le signe de \(f'(x)\) et en déduire le tableau de variations de \(f\).
Si besoin, calculer la valeur exacte, puis la valeur approchée au dixième, du (des) extremum(s) local(aux).
- se rappeler que quelque soit \(X \in \mathbb{R} \,: e^X > 0\)
- la représentation graphique d'une fonction affine est une droite, cela permet de visualiser rapidement le signe d'une expression de la forme \(y = mx + p\)
quelque soit \(x \in \mathbb{R}\) l'exponentielle est strictement positive, donc \(e^{-x} > 0\),
On en déduit que le signe de \(f'(x)\) est celui de \((-2-x)\)
Or \((-2-x)\) est l'expression d'une fonction affine de coefficient directeur \(1\), on en déduit donc son signe, puis celui de \(f'(x)\).
\(\begin{array}{|l|lcccr|} \hline x & -\infty & & 2 & & +\infty \\\hline \text{signe de }f'(x) & & - & 0 & + & \\\hline \text{variations de }f & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & f(2) & & \\\hline \end{array}\)
avec \(f(2) = (1 - 2)e^{-2} = -e^{-2} \approx -0,14\)
4. Résoudre dans \(\mathbb{R} : f(x) \ge -1\).
D'après le tableau de variations, quelque soit \(x \in \mathbb{R} : f(x) \ge f(2) \approx -0,14\), donc on a toujours \(f(x) > -1 \).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R} : f(x) = 0\).
\(f(x) = 0 \Leftrightarrow (1-x)e^{-x} = 0\)
Or l'exponentielle n'est jamais nulle, c'est à dire \(e^{-x} \neq 0\), donc il faut \(1-x = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Exercice 2
Soit \(g\) la fonction définie par : \(g(x) = \dfrac{10 e^{-2 x}}{-2 e^{-2x} -0,5}\)
On note \(\mathscr C_g\) sa courbe représentative.
1. Justifier que \(g\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
- On ne peut jamais diviser par 0
- quelque soit \(x \in \mathbb{R} : e^{x} > 0\)
Il faut vérifier que pour tout \(x \in \mathbb{R} : - 2 e^{-2x} - 0,5 \neq 0\)
On cherche donc \(x\) tel que \(- 2 e^{-2x} - 0,5 = 0\)
on sait que quelque soit \(x : e^{-2x} > 0 \)
\(\Leftrightarrow -2 e^{-2x} < 0 \Leftrightarrow -2 e^{-2x} - 0,5< - 0,5 \Rightarrow -2 e^{-2x} - 0,5 \neq 0\)
donc \(g\) est définie sur \(\mathbb{R}\)
2. Montrer que \(g(x) = \dfrac{10}{-2 - 0,5 e^{2 x}}\).
- \(e^x \times e^{-x} = e^0 = 1\)
- Observer le numérateur. Une astuce de calcul : \(10 = 10\times 1\)
Le numérateur ne contient plus d'exponentielle. Une astuce de calcul consiste à multiplier par "l'exponentielle appliquée à l'opposé de l'exposant", ici \(e^{2x}\)
\(g(x) = \dfrac{10e^{-2x}}{-2 e^{-2x} - 0,5} = \dfrac{10e^{-2x} \times {\color{red}{e^{2x}}}}{\left( -2 e^{-2x} - 0,5\right) \times {\color{red}{e^{2x}}}} = \dfrac{10 \times e^{0}}{-2 e^{0} - 0,5 e^{2x}} = \dfrac{10 }{-2 - 0,5 e^{2x}}\)
3. Dériver \(g\), puis déterminer le signe de \(g'(x)\) et en déduire les variations de \(g\).
On peut travailler de deux façons :
- voir \(g\) sous la forme \(\dfrac{u(x)}{v(x)}\) et utiliser la dérivée d'un quotient.
- voir \(g\) sous la forme \(k \times \dfrac{1}{v(x)}\) et utiliser la dérivée de l'inverse d'une fonction.
dérivée
\(g\) est de la forme \(k \times \dfrac{1}{v(x)}\) avec \(k = 10\) et \(v(x) = -2 - 0,5 e^{2x}\), donc \(g'(x) = k \times \dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}\)
\(v'(x) = 0 - 0,5 \times 2 e^{2x}\) car la dérivée de \(x \mapsto e^{mx + p}\) est \(x \mapsto m \times e^{mx + p}\).
donc \(g'(x) = 10 \times \dfrac{-\left(- e^{2x}\right)}{\left(-2 - 0,5 e^{2x}\right)^2} =\dfrac{10 e^{2x}}{\left(-2 - 0,5 e^{2x}\right)^2} \)
signe de la dérivée
une exponentielle est toujours positive et un carré aussi, donc \(g'(x) > 0\)
variations de \(g\)
Comme \(g'(x) > 0\), la fonction \(g\) est strictement croissante.
4. Déterminer l'équation de \(\mathscr T_0\), la tangente à \(\mathscr C_g\) au point d'abscisse 0.
L'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\) est donnée par la formule : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)
équation de la tangente : \(y = g'(a)(x - a) + g(a)\), ici \(a = 0\), donc :
\(y = g'(0)(x - 0) + g(0) = \dfrac{10 \times e^{2 \times 0}}{\left(-2 - 0,5 e^{2 \times 0}\right)^2} (x - 0) + \dfrac{10}{-2 - 0,5 e^{2\times 0}}\)
\(y = \dfrac{8}{5}x - 4\)
5. Représenter la fonction \(g\) sur votre calculatrice. À l'aide d'une lecture graphique déterminer une valeur approchée du réel \(\alpha\), tel que la tangente à \(\mathscr C_g\) au point d'abscisse \(\alpha\) soit parallèle à \(\mathscr T_0\).
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
le coefficient directeur de \(T_0\) est \(\dfrac{8}{5} \), à l'aide d'une lecture graphique on trouve \(\alpha \approx 1,45\)