prise de notes du 27/11/2020

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ici \(a=3\) donc parabole orientée "vers le haut"

axe de symétrie \(x = \alpha\)

donc ici \(x=1\)

coordonnées du sommet \((\alpha\,; \beta)\)

ici \((1\,; 5)\)

quelque soit \(x\) réel, \(f(x) > 0\).

ici \(a=4\) donc parabole orientée "vers le haut"

axe de symétrie \(x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-4}{2 \times 4} = -\dfrac{1}{2}\)

intersection avec l'axe des abscisses :

ici \(\Delta = 4^2 - 4 \times 4 \times 1 = 0\),

ahhhhh ! mais c'est une identité remarquable !! de la forme \((A+ B)^2\),

ici \(f(x) = (2x + 1)^2\)

remarque : pour obtenir la forme canonique

\(f(x) = \left( 2\left( x + \dfrac12 \right) \right)^2 = 2^2 \times \left( x + \dfrac12 \right)^2\)

\(\alpha = \dfrac{-(-8)}{2 \times 1} = 4\)

\(\beta = f(\alpha) = -15\)

2 valeurs qui annulent

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Une parabole admet toujours un axe de symétrie. Le milieu des points associés aux racines appartient à l'axe de symétrie.

ici l'axe de symétrie a pour équation \(x = \dfrac{1}{2}\)

\(A(x_A\,; y_A)\) et \(B(x_B\,; y_B)\) le milieu a pour coordonnées \(\left( \dfrac{x_A + x_B}{2} \,; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)\)

on sait que la forme factorisée \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

ici \(f(x) = a(x - (-1))(x - 2) = a (x+1)(x-2)\)

On veut que la parabole passe par \(C(0\,; 2)\) c'est à dire \(C(0\,; f(0)\)

donc il faut \(f(0) = 2\)

c'est à dire \(f(0) = a (0+1)(0-2) = 2 \Leftrightarrow -2a = 2 \Leftrightarrow a = -1\)

donc \(f(x) = -(x + 1)(x - 2)\)

d'où \(f(\alpha) = f\left(\dfrac12\right) = \dfrac94\)

forme canonique \(f(x) = a (x - \alpha)^2 + \beta\)