paraboles
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question 3 : il "suffit" de développer
\(\left( \dfrac{x}{4} \right)^2 = \dfrac{x^2}{16}\) \(2 \times \left( \dfrac{1-x}{6} \right)^2\) identités remarquables \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\) ici \(A = 1\) et \(B=x\) \(= 2 \times \dfrac{1 - 2 \times 1 \times x + x^2 } {6^{2}} = \dfrac{1}{18} (1 - x)^2\)
L'objectif : trouver \(x\) tel que la somme des aires (c'est à dire \(f(x)\)) soit minimale. Or \(f(x) = \dfrac{17}{144} x^2 - \dfrac{1}{9} x + \dfrac{1}{18}\)
C'est un polynôme du 2nd degré ! La courbe représentative est une parabole orientée "vers le haut" car \(a\) le coefficient de \(x^2\) est positif. Le minimum est donné par les coordonnées du sommet de la parabole. Pour trouver les coordonnées du sommet, il faut écrire \(f\) sous sa forme canonique.
présence du \(- \dfrac19 x\) on utilise \((A -B)^2 = \color{red}{A^2 - 2AB + B^2}\)
\(f(x) = \dfrac{17}{144} \left(x^2 - \dfrac{144}{17} \times \dfrac19 \times 2 \times \dfrac12 x\right) + \dfrac{1}{18}\) \(f(x) = \dfrac{17}{144} \left(x^2 - 2 x \times \dfrac{8}{17} \right) + \dfrac{1}{18}\) \(f(x) = \dfrac{17}{144} \left(x^2 - 2 x \times \dfrac{8}{17} + \left( \dfrac{8}{17} \right)^2 - \left( \dfrac{8}{17} \right)^2 \right) + \dfrac{1}{18}\) \(f(x) = \dfrac{17}{144} \left(\color{red}{x^2 - 2 x \times \dfrac{8}{17} + \left( \dfrac{8}{17} \right)^2} - \left( \dfrac{8}{17} \right)^2 \right) + \dfrac{1}{18}\) \(f(x) = \dfrac{17}{144} \left(\color{red}{\left( x - \dfrac{8}{17}\right)^2} - \left( \dfrac{8}{17} \right)^2 \right) + \dfrac{1}{18}\) \(f(x) = \dfrac{17}{144} \color{red}{ \left( x - \dfrac{8}{17}\right)^2 } - \dfrac{17}{144} \times \left( \dfrac{8}{17} \right)^2 + \dfrac{1}{18}\) \(f(x) = \dfrac{17}{144}\left( x - \dfrac{8}{17}\right)^2 + \dfrac{1}{34}\)
conclusion : si \(x = \dfrac8{17}\), alors la somme des aires est minimale et vaut \(\dfrac{1}{34}\)
remarque : il aurait été plus simple de calculer : \(\alpha = - \dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\) c'est à dire \(\alpha = - \dfrac{-\frac19}{2 \times \frac{17}{144}}= \dfrac{8}{17}\)
