sens de variation d'une suite.

\(u_n = \dfrac{2}{n+1}\) et \(n \in \mathbb{N}\)

Visuellement (graphe de la fonction \(f(x)=\dfrac{2}{x+1}\)), ou bien tableau de valeurs, on conjecture que la suite est décroissante.

Si la suite est décroissante, cela signifie que \(u_{n+1} \leq u_n \Leftrightarrow u_{n+1} -u_n \leq 0\)

Calculons :

\(u_{\color{red}{n+1}} - u_n = \dfrac{2}{\color{red}{(n+1)} + 1} - \dfrac{2}{n+1}\)

\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{2}{n+2} - \dfrac{2}{n+1}\)

\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{2 \times (n+1)}{(n+2) \times (n+1)} - \dfrac{2 \times (n+2)}{(n+1) \times (n+2)}\)

\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{2 \times (n+1) - 2 \times (n+2)}{(n+1) \times (n+2)}\)

\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{2 n+2 - 2 n-4}{(n+1) \times (n+2)}\)

\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{-2}{(n+1) \times (n+2)}\)

on sait que \(n \in \mathbb{N}\), c'est à dire \(n \geq 0\), donc

\(n+1 \geq 1 > 0\)

\(n+2 \geq 2 > 0\)

d'où \((n+1) \times (n+1) >0\)

donc \(u_{n+1} -u_n = \dfrac{\text{négatif}}{\text{positif}} = \text{négatif}\), c'est à dire \(u_{n+1} -u_n \leq 0\)

On vient de démontrer que la suite est décroissante.

à faire : p 157 n° 48