p 157 n° 48

première suite : \(u_n = 3^n\)

• \(u_0 = 3^0 = 1\)
• \(u_1 = 3^1 = 3\)
• \(u_2 = 3^2 = 9\)

conjecture : la suite \((u_n)\) semble croissante.

cours : suite croissante :

\(u_{n+1} \geq u_n \Leftrightarrow u_{n+1} -u_n \geq 0\)

démonstration \({\color{red}{u_{n+1}}} -u_n = {\color{red}{3^{n+1}}} - 3^n\)

\(u_{n+1} -u_n = {\color{red}{3^n \times 3}} - 3^n\)

\(u_{n+1} -u_n = {\color{red}{3^n \times 3}} - 3^n {\color{blue}{\times 1}}\)

\(u_{n+1} -u_n = 3^n \times (\color{red}{3} - \color{blue}{1})\)

\(u_{n+1} -u_n = 3^n \times 2\)

donc \(u_{n+1} -u_n \geq 0\), la suite \((u_n)\) est croissante.

troisième suite \(\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = u_{\color{red}n} + \dfrac{1}{{\color{red}n}+1} \end{cases}\)

• \(u_1 = u_{\color{red}0} + \dfrac{1}{{\color{red}0}+ 1} = 2 + \dfrac{1}{0 + 1} = 3\)
• \(u_2 = u_{\color{red}1} + \dfrac{1}{{\color{red}1}+ 1} = 3 + \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{7}{2}\)

conjecture : la suite \((u_n)\) semble croissante, pour le démontrer, on étudie le signe de la différence de deux termes consécutifs.

\(u_{n+1} -u_n = \dfrac{1}{n+1}\) or \(n \in \mathbb{N}\), donc \(n \geq 0\), d'où \(\dfrac{1}{n+1} \geq 0\), donc la suite \((u_n)\) est croissante.

deuxième suite : \(u_{n+1} -u_n = \dfrac{-4 (2n +1)}{n^2 (n+ 1)^2} < 0\)

quatrième suite: \(u_{n+1} -u_n = -n^2 < 0\)

pour lundi : p 162 n° 94 - 95

limite d'une suite... type c05

la suite \((u_n)\) est définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_n=\dfrac{2n + 3}{n + m}\)

1. calculer les 3 premiers termes "à la main".
2. représenter graphiquement les 10 premiers termes à l'aide de calculatrice. (voir fichier GGB)
3. conjecturer le sens de variation, puis le démontrer. (réponse : à voir suivant les valeurs de \(m\))
4. conjecturer la limite de la suite.

réponse : à l'aide de la calculatrice, j'ai l'impression que (quelle que soit la valeur de \(m\)) : \(\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 2\)