p 73 n° 1
\(f(x) = -2x^2 + 5\)
étape 1 : simplifier le taux d'accroissement
\(\tau(h) = \dfrac{{\color{red}{f(a + h)}} - {\color{blue}{f(a)}}}{h}\)
\(\tau(h) = \dfrac{{\color{red}{-2(a + h)^2 + 5}} -({\color{blue}{-2a^2+ 5}})}{h}\)
\(\tau(h) = \dfrac{-2((a + h)^2 -a^2)}{h} \\ =\dfrac{-2(2ah + h^2)}{h} \\ =\dfrac{-4ah -2h^2}{h}\\ =\dfrac{-4ah }{h} - \dfrac{2h^2}{h}\\ = - 4a - 2h\)
étape 2 : limite en \(0\) du taux d'accroissement
on cherche : \(\lim\limits_{h \to 0} \tau(h) = \lim\limits_{h \to 0} -4a - 2 h\)
on remarque que : \(\lim\limits_{h \to 0} - 2 h = 0\)
donc \(\lim\limits_{h \to 0} -4a - 2 h = -4a = f'(a)\)
pour \(a= 4\)
on a \(f'(4) = -4 \times 4 = -16\)
équation de la tangente au point d'abscisse \(4\) :
\(y = f'(4) (x - 4) + f(4) = -16 ( x - 4) + (-27) = -16x + 37\)
vérification GGB + NumWorks
pour \(a=-1\)
équation de la tangente au point d'abscisse \((-1)\) :
\(y = f'(-1) (x - (-1)) + f(-1) = 4 ( x +1) + 3 = 4x + 7\)
p 88 n° 57
(réponses données, travail à faire) \(f(x) = -4x + 2\) il faut trouver \(f'(a) = -4\) ; la tangente au point d'abscisse \(a=3\) a pour équation \(y = -4x + 2\)
\(f(x) = 5x^2 - 3x + 2\) il faut trouver \(f'(a) = 10a - 3\) ; la tangente au point d'abscisse \(a=-1\) a pour équation \(y = -13x + 3\)
travail de recherche
Soit la parabole \(\mathscr P\), d'équation \(y = x^2\), \(A\) et \(B\) sont deux points de \(\mathscr P\).
Tracer les tangentes à \(\mathscr P\) en \(A\) (\(\mathscr T_A\)) et \(B\) (\(\mathscr T_B\)). \(M\) est le point d'intersection de \(\mathscr T_A\) et \(\mathscr T_B\) : conjecture + démonstration.
Existe-t-il une relation entre les coordonnées des points \(A\), \(B\) et \(M\) ?
Conjecture
l'abscisse de \(M\) est la moyenne des abscisses de \(A\) et \(B\), c'est à dire \(x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}\)
Démonstration
\(A (x_A\,; y_A) \in \mathscr P\) donc \(y_A = x_A^2\), d'où \(A (x_A\,; x_A^2)\)
de même \(B(x_B\,; x_B^2)\) et les points \(A\) et \(B\) sont distinct, donc \(x_A \neq x_B\))
\(M\) est le point d'intersection de \(\mathscr T_A\) et \(\mathscr T_B\), donc pour trouver les coordonnées de \(M\) il faut trouver les équations des tangentes.
La fonction de travail est \(f(x) = x^2\)
- calculer le taux d'accroissement en \(a\)
- équation de la tangente en \(a\)
- écrire ces équations dans les cas particulier pour \(x_A\) et \(x_B\)
- trouver les coordonnées du point d'intersection.
taux d'accroissement
\(\tau(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} = \dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = \dfrac{2ah}{h} + \dfrac{h^2}{h} =2a + h\)
\(\lim\limits_{h\to 0} 2a + h = 2a = f'(a)\)
Conclusion : pour la fonction carré (\(x \mapsto x^2\)) le nombre dérivé est donné par \(x \mapsto 2x\).