p 73 n° 1

$f(x) = -2x^2 + 5$

étape 1 : simplifier le taux d'accroissement

$\tau(h) = \dfrac{{\color{red}{f(a + h)}} - {\color{blue}{f(a)}}}{h}$

$\tau(h) = \dfrac{{\color{red}{-2(a + h)^2 + 5}} -({\color{blue}{-2a^2+ 5}})}{h}$

$\tau(h) = \dfrac{-2((a + h)^2 -a^2)}{h} \\ =\dfrac{-2(2ah + h^2)}{h} \\ =\dfrac{-4ah -2h^2}{h}\\ =\dfrac{-4ah }{h} - \dfrac{2h^2}{h}\\ = - 4a - 2h$

étape 2 : limite en $0$ du taux d'accroissement

on cherche : $\lim\limits_{h \to 0} \tau(h) = \lim\limits_{h \to 0} -4a - 2 h$

on remarque que : $\lim\limits_{h \to 0} - 2 h = 0$

donc $\lim\limits_{h \to 0} -4a - 2 h = -4a = f'(a)$

pour $a= 4$

on a $f'(4) = -4 \times 4 = -16$

équation de la tangente au point d'abscisse $4$ :

$y = f'(4) (x - 4) + f(4) = -16 ( x - 4) + (-27) = -16x + 37$

vérification GGB + NumWorks

pour $a=-1$

équation de la tangente au point d'abscisse $(-1)$ :

$y = f'(-1) (x - (-1)) + f(-1) = 4 ( x +1) + 3 = 4x + 7$

p 88 n° 57

(réponses données, travail à faire) $f(x) = -4x + 2$ il faut trouver $f'(a) = -4$ ; la tangente au point d'abscisse $a=3$ a pour équation $y = -4x + 2$

$f(x) = 5x^2 - 3x + 2$ il faut trouver $f'(a) = 10a - 3$ ; la tangente au point d'abscisse $a=-1$ a pour équation $y = -13x + 3$

travail de recherche

Soit la parabole $\mathscr P$, d'équation $y = x^2$, $A$ et $B$ sont deux points de $\mathscr P$.

Tracer les tangentes à $\mathscr P$ en $A$ ($\mathscr T_A$) et $B$ ($\mathscr T_B$). $M$ est le point d'intersection de $\mathscr T_A$ et $\mathscr T_B$ : conjecture + démonstration.

Existe-t-il une relation entre les coordonnées des points $A$, $B$ et $M$ ?

Conjecture

l'abscisse de $M$ est la moyenne des abscisses de $A$ et $B$, c'est à dire $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$

Démonstration

$A (x_A\,; y_A) \in \mathscr P$ donc $y_A = x_A^2$, d'où $A (x_A\,; x_A^2)$

de même $B(x_B\,; x_B^2)$ et les points $A$ et $B$ sont distinct, donc $x_A \neq x_B$)

$M$ est le point d'intersection de $\mathscr T_A$ et $\mathscr T_B$, donc pour trouver les coordonnées de $M$ il faut trouver les équations des tangentes.

La fonction de travail est $f(x) = x^2$

1. calculer le taux d'accroissement en $a$
2. équation de la tangente en $a$
3. écrire ces équations dans les cas particulier pour $x_A$ et $x_B$
4. trouver les coordonnées du point d'intersection.

taux d'accroissement

$\tau(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} = \dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = \dfrac{2ah}{h} + \dfrac{h^2}{h} =2a + h$

$\lim\limits_{h\to 0} 2a + h = 2a = f'(a)$

Conclusion : pour la fonction carré ($x \mapsto x^2$) le nombre dérivé est donné par $x \mapsto 2x$.

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