travail de recherche
Rappels
Enoncé
Soit la parabole \(\mathscr P\), d'équation \(y = x^2\), \(A\) et \(B\) sont deux points de \(\mathscr P\).
Tracer les tangentes à \(\mathscr P\) en \(A\) (\(\mathscr T_A\)) et \(B\) (\(\mathscr T_B\)). \(M\) est le point d'intersection de \(\mathscr T_A\) et \(\mathscr T_B\) : conjecture + démonstration.
Existe-t-il une relation entre les coordonnées des points \(A\), \(B\) et \(M\) ?
Conjecture
l'abscisse de \(M\) est la moyenne des abscisses de \(A\) et \(B\), c'est à dire \(x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}\)
Plan de travail
- calculer le taux d'accroissement en \(a\)
- équation de la tangente en \(a\)
- écrire ces équations dans les cas particulier pour \(x_A\) et \(x_B\)
- trouver les coordonnées du point d'intersection.
première "découverte"
quelque soit \(a \in \mathbb R\), la fonction \(f : x \mapsto x^2\) admet pour nombre dérivé \(f'(a) = 2a\).
Suite du travail
équation de la tangente
équation de la tangente à \(\mathscr P\) au point d'abscisse \(a\) : \(y = f'(a)(x -a) + f(a)\)
ici : \(A(x_A\,; x_A^2)\) donc
\(y = f'(x_A)(x - x_A) + f(x_A)\)
\(\Leftrightarrow y = 2x_A (x - x_A) + x_A^2\)
\(\Leftrightarrow y = 2x_A x - x_A^2\)
et \(B(x_B\,; x_B^2)\) donc l'équation de la tangente est : \(y = 2x_B x - x_B^2\)
Coordonnées du point \(M\)
Le point \(M(x_M\,; y_M)\) est le point d'intersection des tangentes, donc ses coordonnées vérifient :
Comme \(M\) appartient à \(\mathscr T_A\), ses coordonnées \((x_M\,; y_M)\) doivent vérifier l'équation de la tangente : \(y = 2x_A x - x_A^2\)
\(\begin{cases} y_M = 2x_A x_M - x_A^2 \\ y_M = 2x_B x_M - x_B^2 \end{cases}\)
(système d'équations avec comme inconnues \(x_M\) et \(y_M\)).
Pour résoudre un système:
- par substitution : 1ere ligne exprimer \(y_M\) en fonction de \(x_M\) puis remplacer \(y_M\) par cette expression dans la deuxième ligne.
- par combinaison : garder la ligne 1, et remplacer la ligne 2 par la différence des deux lignes.