résolution du système

\(\begin{cases} y_M = 2x_A x_M - x_A^2 \\ y_M = 2x_B x_M - x_B^2 \end{cases}\)

(système d'équations avec comme inconnues \(x_M\) et \(y_M\)).

Pour résoudre un système:

• par substitution : 1ere ligne exprimer \(y_M\) en fonction de \(x_M\) puis remplacer \(y_M\) par cette expression dans la deuxième ligne.
• par combinaison : garder la ligne 1, et remplacer la ligne 2 par la différence des deux lignes.

Zut, comment faire ?

un exemple numérique : supposons \(A(-2\;, 4)\) et \(B(3\,; 9)\) et \(M(x\,;y)\) le système devient :

\(\begin{cases} y = -4 x - 4 & L_1\\ y = 6 x - 9 & L_2 \end{cases}\)

Méthode par substitution

Exprimer dans \(L_1\), \(y\) en fonction de \(x\) (il y a \(y\) seul dans le membre de gauche ; un expression en \(x\) dans le membre de droite). Ici, c'est déjà fait !

On remplace \(y\) par son expression dans \(L_2\) : \(\begin{cases} {\color{blue}{y}} = {\color{blue}{-4 x - 4}} & L_1\\ {\color{blue}{-4 x - 4}} = 6 x - 9 & L_2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = -4 x - 4 & L_1\\ {\color{blue}{-4 x - 4}} = 6 x - 9 & L_2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = -4 x - 4 & L_1\\ x = \frac12 & L_2 \end{cases}\)

On remplace \(x\) par sa valeur dans \(L_1\), on trouve \(y=-6\). Le système admet un unique couple solution \((0,5\,; -6)\).

Méthode par combinaison

On peut :

• additionner / soustraire \(L_1\) et \(L_2\) entre elles ;
• multiplier / diviser une ligne par un réel non nul.

\(\begin{cases} y = -4 x - 4 & L_1\\ y = 6 x - 9 & L_2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = -4 x - 4 & L_1 \leftarrow L_1\\ 0 = -10 x +5 & L_2 \leftarrow {\color{blue}{L_1 - L_2}} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = -4 \times 0,5 - 4 = -6 & L_1\\ x = 0,5 &L_2 \end{cases}\)

explication :

\({\color{blue}{L_1 - L_2}} = - 4x - 4 - (6x - 9) = - 4x - 4 - 6x + 9 = -10 x + 5\)

Retour au cas général

\(\begin{cases} y_M = 2x_A x_M - x_A^2 \\ y_M = 2x_B x_M - x_B^2 \end{cases}\)

par substitution :

\(\begin{cases} y_M ={\color{blue}{ 2x_A x_M - x_A^2}} \\ {\color{blue}y_M} = 2x_B x_M - x_B^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y_M ={\color{blue}{ 2x_A x_M - x_A^2}} & (*)\\ {\color{blue}2x_A x_M - x_A^2} = 2x_B x_M - x_B^2 \end{cases}\)

brouillon : résolution de \(2x_A x_M - x_A^2 = 2x_B x_M - x_B^2\)

\(\Leftrightarrow 2x_A x_M - x_A^2 {\color{red}-2x_B x_M} = 2x_B x_M - x_B^2 {\color{red}-2x_B x_M}\)

\(\Leftrightarrow {\color{blue}{2}}x_A {\color{blue}{x_M}} - x_A^2 -{\color{blue}{2}}x_B {\color{blue}{x_M}} = - x_B^2\)

\(\Leftrightarrow {\color{blue}{2 x_M}}(x_A -x_B) - x_A^2 = - x_B^2\)

\(\Leftrightarrow {\color{blue}{2 x_M}}(x_A -x_B) - x_A^2 {\color{red}{+ x_A^2}}= - x_B^2 {\color{red}{+ x_A^2}}\)

\(\Leftrightarrow {\color{blue}{2 x_M}}(x_A -x_B)= {\color{red}{x_A^2}} - x_B^2\)

\(\Leftrightarrow {\color{blue}{2 x_M}}(x_A -x_B)= (x_A + x_B)(x_A - x_B)\)

Or les points \(A\) et \(B\) ne sont pas confondus, donc \(x_A \neq x_B \Leftrightarrow x_A - x_B\neq 0\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{2 x_M(x_A -x_B)}{2 ({\color{red}{x_A-x_B}})}= \dfrac{(x_A + x_B)(x_A - x_B)}{2({\color{red}{x_A-x_B}})}\)

\(\Leftrightarrow x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}\)

Pour terminer, on remplace \(x_M\) par son expression dans \((*)\)

à finir...

Correction rapide des exercices

p 86 n° 41

• Tangente en \(A\) : \(y = 4\)
• Tangente en \(B\) : \(y= -2x + 1\)
• Tangente en \(C\) : \(y= 2\)
• Tangente en \(D\) : \(y= 2x + 1\)

p 90 n° 74

équation de la tangente : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\)

qui peut s'écrire \(y = {\color{blue}{f'(a)}} x {\color{green}{- f'(a)a + f(a)}}\)

on retrouve \(y = {\color{blue}{m}}x + {\color{green}{p}}\)

avec \(m= f'(a)\) et \(p=- f'(a)a + f(a)\)

ici, la tangente au point d'abscisse \(a=3\), a pour équation \(y = {\color{blue}{-2}}x +{\color{green}{3}}\), donc \(f'(3) = -2\).

Le point \(A\) a pour coordonnées \((3\,; f(3))\)

En utilisant le fait que \({\color{green}{p=- f'(a)a + f(a)}}\) et sachant \({\color{green}{p = 3}}\)

à finir... + p 90 n° 75