p 360 n° 69
| nb. d'objets | \(F\) | \(\bar{F}\) | total | |
|---|---|---|---|---|
| \(S\) | 8 | 8 | 16 | |
| \(\bar{S}\) | 4 | 180 | 184 | |
| total | 12 | 188 | 200 |
- coût de fabrication : 200 €
- prix de vente : 250 €
loi de proba
loi de probabilité de \(X\) qui représente le bénéfice (algébrique) de l'entreprise.
| valeurs de \(X\) | \(F\) | \(\bar{F}\) | |
|---|---|---|---|
| \(S\) | a | b | |
| \(\bar{S}\) | c | d |
- d : prix de vente (sans défaut) : 250 €, donc gain de 250 - 200 = 50 €
- b : le seul défaut \(S\). baisser une quantité \(q\) de de 15% c'est la multiplier par \(\left( 1 - \dfrac{15}{100}\right)\) donc un gain de \(X = 250 \times 0,85 - 200 = 12,5\)
- c : seul défaut \(F\). Gain : \(X = 250 - 200 - 45 = 5\)
- a :deux défauts, gain \(X = 250 - 200 - 58 = -8\)
| valeurs de \(X\) | \(F\) | \(\bar{F}\) | |
|---|---|---|---|
| \(S\) | -8 | 12,5 | |
| \(\bar{S}\) | 5 | 50 |
donc la loi de \(X\) est :
| \(X = x_i\) | -8 | 5 | 12,5 | 50 |
|---|---|---|---|---|
| \(p(X = x_i)\) | \(\dfrac{8}{200} = 0,04\) | \(\dfrac{4}{200} = 0,02\) | \(\dfrac{8}{200} = 0,04\) | \(\dfrac{180}{200} = 0,9\) |
2b) proba d'un gain négatif (d'une perte) : \(p(X \leq 0) = p(X = -8) = 0,04\)
gain moyen
- gain moyen de l'entreprise.
L'espérance représente le gain moyen pour la vente d'UN objet.
\(E(X) = - 8 \times 0,04 + 5 \times 0,02 + 12,5 \times 0,04 + 50 \times 0,9 = 45,28\)
pour 200 objets, l'entreprise peut espérer gagner \(45,28 \times 200 = 9\,056\, €\)
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| nb. de menus | \(V\) | \(\bar{V}\) | total | |
|---|---|---|---|---|
| \(E\) | 42 | 18 | 60 | |
| \(J\) | 16 (c) | 24 | 40 | |
| total | 58 | 42 | 100 |
- : 40 % des clients qui prennent le menu du jour. \(\dfrac{40}{100} \times 40 = 16\)
Dépenses :
| \(D\) | \(V\) | \(\bar{V}\) | |
|---|---|---|---|
| \(E\) | 14 | 12 | |
| \(J\) | 17 | 15 |
loi de proba
on en déduit la loi de probabilité
| \(D = d_i\) | 12 | 14 | 15 | 17 |
|---|---|---|---|---|
| \(p(D = d_i)\) | \(\dfrac{18}{100} = 0,18\) | \(\dfrac{42}{100} = 0,42\) | \(\dfrac{24}{100} = 0,24\) | \(\dfrac{16}{100} = 0,16\) |
on calcule \(E(D) = 14,36\), le restaurateur peut espérer une recette de 14,36 € par repas. Sur une semaine de 6 jours, il peut espérer gagner \(200 \times 14,35 \times 6 = 17\,232\) euros.
conseil financier
augmentation des prix de 10%, baisse de fréquentation de 10%... est-ce intéressant ?
augmenter de 10%, signifie que tous les prix sont multipliés par \(\left( 1+ \dfrac{10}{100}\right) = 1,1\)
La v.a. \(Y\) représente les nouveaux prix, donc \(Y = 1,1 X\), donc la nouvelle espérance de gain \(E(Y) = 1,1 E(X) = 1,1 \times 14,36 \approx 15,79\)
rappel (linéarité de l'espérance) : si v.a. \(Y = a X + b\) alors \(E(Y) = a E(X) + b\)
Si la fréquentation baisse de 10% (baisser de 10% c'est multiplier par \(\left(1- \dfrac{10}{100}\right) = 0,9\) ), il espère avoir \(200 \times 0,9 = 180\) clients.
Par semaine (6 jours) il peut espérer gagner \(15,79 \times 180 \times 6 \approx 17\,053\) euros.