p 105 n° 1
fonction \(h\)
\(h(t) = 5t^3 - 3t^2 + t - \sqrt{2}\)
\(h\) est de la forme : \(h(t) = u(t) + v(t) + w(t)\)
Une formule très utilisée : \(f(x) = {\color{red}{k}} \times {\color{blue}{u(x)}}\) (avec \({\color{red}{k}}\) réel) qui a pour dérivée : \(f'(x) = {\color{red}{k}} \times u'(x)\).
- \(u(t) = {\color{red}{5}} {\color{blue}{t^3}}\) qui se dérive en \(u'(t) = {\color{red}{5}} \times 3 t^2\) ; \(u'(t) = 15t^2\)
- \(v(t) = {\color{red}{-3}} {\color{blue}{t^2}}\) qui se dérive en \(v'(t) = {\color{red}{-3}} \times 2 t\) ; \(v'(t) = -6t\)
- \(w(t) = t - \sqrt{2}\) on reconnaît une fonction affine de la forme \(w(t) = m \times t + p\) avec \(m = 1\) et \(p=-\sqrt{2}\), donc \(w'(t) = 1\).
donc \(h'(t) = 15t^2 - 6t + 1\)
fonction \(i\)
\(i(x) = \dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{x}\)
\(i(x) = \underbrace{{\color{red}{\dfrac{1}{2}}} \times x}_{u(x)} - \underbrace{{\color{red}{3}} \times \dfrac{1}{x}}_{v(x)}\)
donc \(i'(x) = \dfrac{1}{2} - 3 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{x^2}\)
fonction \(j\)
\(j(x) = \dfrac{x^2 - 4}{2} = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{4}{2} = {\color{red}{\dfrac{1}{2}}} x^2 - 2\)
donc \(j'(x) = {\color{red}{\dfrac{1}{2}}} \times 2x + 0= x\)
fonction \(k\)
\(k(x) = {\color{red}{2}}x^3 - {\color{red}{4}} \sqrt{x}\)
donc \(k'(x) = {\color{red}{2}} \times 3x^2 - {\color{red}{4}} \times \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} = 6 x^2 - \dfrac{2}{\sqrt{x}}\)
fonction \(l\)
Cacul GGB
p 116 n° 33
fonction \(f_1\)
\(f(t) = 2t - \dfrac{1}{t}\)
donc \(f'(t)= 2 - \dfrac{-1}{t^2} = 2 + \dfrac{1}{t^2}\)
fonction \(f_2\)
\(f(x) = 5 \sqrt{x} - 3 x + 2 = \underbrace{{\color{red}{5}} \sqrt{x}}_{u(x)} + \underbrace{(-3x + 2)}_{v(x)}\)
donc \(f'(x) = {\color{red}{5}} \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} -3 = \dfrac{5}{2\sqrt{x}} - 3\)
fonction \(f_3\)
\(f(x) = \dfrac{1}{2} x^4 + \dfrac{1}{8x^4} = {\color{red}{\dfrac{1}{2}}} x^4 +{\color{red}{\dfrac{1}{8}}} \times \dfrac{1}{x^4}\)
or la dérivée de \(u(x) = \dfrac{1}{x^n} = -\dfrac{n}{x^{n+1}}\)
donc \(f'(x) = {\color{red}{\dfrac{1}{4}}} \times 4 x^3 + {\color{red}{\dfrac{1}{8}}} \times \dfrac{-4}{x^5}\)
\(f'(x) = x^3- \dfrac{1}{2x^5}\)
fonction \(f_4\)
\(f(t) = \dfrac{2t^3 - 4t - 3}{2t^2} = \dfrac{2t^3}{2t^2} - \dfrac{4t}{2t^2} - \dfrac{3}{2t^2}\)
\(f(t)= t - {\color{red}{2}} \times \dfrac{1}{t} - {\color{red}{\dfrac{3}{2}}} \times \dfrac{1}{t^2}\)
donc \(f'(t) = 1 - {\color{red}{2}} \times \dfrac{-1}{t^2} - {\color{red}{\dfrac{3}{2}}} \times \dfrac{-2}{t^3}\) \(f'(t) = 1 + \dfrac{2}{t^2} + \dfrac{3}{t^3}\)
p 121 n° 71
Rappels de cours
La tangente à la courbe est une droite. Son équation réduite est donc de la forme \(y=mx + p\)
On sait aussi que l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est : \(y=f'(a) (x -a) + f(a)\)
On sait que \(f'(a)\) représente le coefficient directeur de la tangente.
Si la tangente est horizontale, cela signifie que \(f'(a) = 0\)
plan de travail :
- dériver la fonction \(g\)
- chercher les valeurs de \(x\) telles que \(g'(x) = 0\)
Recherche :
à l'aide de GeoGebra, on conjecture que pour \(x=0,5\) et \(x=3\), les tangentes à la courbe sont horizontales. C'est à dire \(g'(0,5) = 0\) et \(g'(3) = 0\).
Recherche GGB
Dérivée de \(g\)
\(g(x) =4x^3 - 21x^2+18x + 2\)
\(g(x) =\underbrace{4x^3}_{u(x)} - \underbrace{ 21x^2}_{v(x)}+\underbrace{18x + 2}_{w(x)}\)
\(g'(x) = 4 \times 3 x^2 - 21 \times 2x + 18\)
\(g'(x) = 6 \times (2 x^2 - 7 x + 3)\)
Cherchons les valeurs qui annulent la dérivée
on cherche \(x\) tel que \(g'(x) = 0\), c'est à dire telles que \(2 x^2 - 7 x + 3 = 0\)
Remarques pour évaluations
- Interro de cours : dérivées comme exercice 1 ou 3
- contrôle : modélisation, fonction qui devrait avoir du degré 3, donc un dérivée qui devrait avoir du degré 2... étude du signe de la fonction dérivée.