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\(f(x) = (2t^2 + 3t)(5t + 3)^7\)
recherche de la fonction dérivée
\(f\) est de la forme \(uv\) qui a pour dérivée \(u'v + uv'\).
- avec \(u(t) = 2t^2 + 3t\) donc \(u'(t) = 4t + 3\)
- et \(v(t) = (5t + 3)^7\)
dérivée de la fonction \(v\) (fonction composée)
\(v\) est de la forme \(v(t)= g(mt + p)\) (c'est la composée de la fonction \(g\) définie par \(g(x) = x^7\) avec la fonction affine \(t \mapsto 5t + 3\) (avec \(m=5\))
\(g(x) = x^7\) on reconnaît une fonction de la forme \(x \mapsto x^n\), qui a pour dérivée \(x \mapsto n \times x^{n-1}\),
donc \(g'(x) = 7 x^{7-1} = 7 x^6\)
on sait que (livre p. 106) que \(v'(t) = m \times g'(mt + p)\)
donc \(v'(x) = 5 \times 7 (5t + 3)^6 = 35 (5t + 3)^6\)
dérivée de \(f\)
donc \(f'(t) = (4t+ 3) \times (5t+ 3)^7 + (2t^2 + 3t) \times 35 (5t + 3)^6\)
Mais comme on sait qu'il faut trouver le signe de la fonction dérivée, on factorise l'expression de \(f'(t)\).
\(f'(t) = (4t+ 3) \times (5t+ 3)^{\color{red}{ 7}} + (2t^2 + 3t) \times 35 (5t + 3)^6\) \(f'(t) = (4t+ 3) \times (5t+ 3)^{\color{red}{6+1}} + (2t^2 + 3t) \times 35 (5t + 3)^6\)
rappels :
- \(a^{n+ p} =a^n \times a^p\) (règle 1)
- \(a^1 =a\) (règle 2)
- \(\left( a^n \right)^p =a^{np}\) (règle 3)
\(f'(t) = (4t+ 3) \times (5t+ 3)^{6}\times (5t+ 3)^1 + (2t^2 + 3t) \times 35 (5t + 3)^6\) (règle 1)
\(f'(t) = (4t+ 3) \times {\color{blue}{(5t+ 3)^{6}}} \times (5t+ 3) + (2t^2 + 3t) \times 35 {\color{blue}{(5t + 3)^6}}\) (règle 2)
\(f'(t) = {\color{blue}{(5t + 3)^6}} \times \left( {\color{green}{(4t + 3) \times (5t + 3)}} + {\color{purple}{ (2t^2 + 3t) \times 35}} \right)\)
\(f'(t) = (5t + 3)^{3 \times 2} \left( {\color{green}{ 20 t^2 + 27 t + 9}} + {\color{purple}{70t^2 +105t}}\right)\) (règle 3)
\(f'(t) = \left((5t + 3)^3\right)^2 \left( 90t^2 + 132 t + 9 \right)\)
Il ne reste "plus qu'à" trouver le signe de \(f'(t)\)...