p.204 n°89
droite \(d_1\)
\(y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta_x} x + p\)
or \({\color{red}{\Delta_y = -3}}\) et \({\color{red}{\Delta_x = 2}}\) et \({\color{red}{p = -3}}\)
donc \(y = \dfrac{-3}{2} x - 3\)
droite \(d_2\)
\(y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta_x} x + p\)
or \({\color{#008000}{\Delta_y = 4}}\) et \({\color{#008000}{\Delta_x = 2}}\) et \({\color{#008000}{p = -3}}\)
donc \(y = \dfrac{4}{2} x - 3 = 2x-3\)
droite \(d_3\)
\(y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta_x} x + p\)
or \({\color{#1E90FF}{\Delta_y = 1}}\) et \({\color{#1E90FF}{\Delta_x = 3}}\) et \({\color{#1E90FF}{p = 3}}\)
donc \(y = \dfrac{1}{3} x + 3\)
droite \(d_4\)
\(y = 1\), c'est une fonction constante.
p.200 n°36
Deux sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
| équation | coeff. directeur |
|---|---|
| \(d_1 : y = 2x + 5\) | \(m = 2\) |
| \(d_2 : x = 2\) | dte. parallèle aux ordonnées |
| \(d_3 : y = -3x + 1\) | \(m = -3\) |
| \(d_4 : y = 2x + 1\) | \(m = 2\) |
| \(d_5 : y = 5 - 3x\) | \(m = -3\) |
| \(d_6 : x = -3\) | dte. parallèle aux ordonnées |
donc \(d_1 // d_4\) ; \(d_2 // d_6\) et \(d_3 // d_5\)
p.200 n°34
- formule pour calculer le coefficient directeur de la droite \((MN)\) : \(\dfrac{y_M-y_N}{x_M-x_N}\)
- donc \(m = \dfrac{5 - 8}{2 - 1} = \dfrac{-3}{1} = -3\)
- \(m' = \dfrac{y_P - y_M}{x_P - x_M} = \dfrac{-1 - 5}{4 - 2} = -3\)
- donc \(m = m'\), les droites \((MN)\) et \((MP)\), sont parallèles. Comme elles ont le point \(M\) en commun, elles sont confondues. Les points \(M\), \(N\) et \(P\) sont donc alignés.
p.204 n°87
\(d_1 : x + 2y - 3 = 0\), donc
\[\begin{array}{ll} & x + 2y - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow & x {\color{red}{- x}} + 2y - 3 {\color{blue}{+3}} = 0 {\color{red}{- x}} {\color{blue}{+3}} \\ \Leftrightarrow & 2y = x + 3 \\ \Leftrightarrow & {\color{red}{\dfrac{\color{black}{2y}}{2}}} = {\color{red}{\dfrac{\color{black}{x + 3}}{2}}} \\ \Leftrightarrow & y = \dfrac{1}{2} x + \dfrac{3}{2} \end{array}\]\(d_2 : 2x + 5y - 7 = 0\), donc
\[\begin{array}{ll} & 2x + 5y - 7 = 0 \\ \Leftrightarrow & 2x {\color{red}{- 2x}} + 5y - 7 {\color{blue}{+7}} = 0 {\color{red}{- 2x}} {\color{blue}{+7}} \\ \Leftrightarrow & 5y = -2x + 7 \\ \Leftrightarrow & {\color{red}{\dfrac{\color{black}{5y}}{5}}} = {\color{red}{\dfrac{\color{black}{-2x + 7}}{5}}} \\ \Leftrightarrow & y = -\dfrac{2}{5} x + \dfrac{7}{5} \end{array}\]p.205 n°99
- Une autre méthode pour déterminer l'équation de la droite \((AB)\) :
utiliser la formule \(y = \dfrac{y_B-y_A}{x_B - x_A}(x - x_A) + y_A\)
Ici cela donne : \(y = \dfrac{810-944}{4 - 0}(x - 0) + 944\)
\(y = -33,5 x + 944\)
- Dans ce modèle, \(x\) représente le nombre d'années écoulées depuis 2010 et \(y\) le nombre d'entrées en milliers.
Donc l'année 2013, correspond à \(x=3\), on calcule \(y = -33,5 \times 3 + 944 = 843,5\).
On peut estimer qu'il y aura \(843\,500\) entrées.
- On cherche \(x\) tel que \(y < 600\)
Rappel : quand on divise (multiplie) une inégalité par un négatif, l'ordre change !
\[\begin{array}{ll} \Leftrightarrow & x > 10,2 \end{array}\]donc, suivant ce modèle, le nombre d'entrées serait inférieur à \(600\,000\) en 2020 (\(=2\,010 + 10\)).
p203 n° 74
- Un "clic droit" sur l'équation de la droite ouvre un menu contextuel qui permet d'afficher l'équation réduite de la droite. Attention GGB travaille en valeurs approchée !
Conjecture : les droites sont concourantes en \(B\).
- Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l'équation.
équation de la droite \((CD)\)
À l'aide de la formule précédente :
\(y = \dfrac{y_D-y_C}{x_D - x_C}(x - x_D) + y_D\)
(dans la deuxième partie de la formule, je choisis le point \(D\) car une des coordonnées est nulle : cela devrait simplifier les calculs).
\[\begin{array}{ll} & y = \dfrac{0-(-4)}{2 - (-4)}(x - 2) + 0 \\ \Leftrightarrow & y = \dfrac{4}{6}(x - 2) \\ \Leftrightarrow & y = \dfrac{2}{3}(x - 2) \\ \Leftrightarrow & y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3} \times 2 \\ \Leftrightarrow & y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{3} \\ \end{array}\]vérifions que \(B \in (CD)\)
méthode : remplacer \(x\) par la valeur de \(x_B\) et vérifier que le calcul donne \(y_B\).
\[\begin{array}{ll} & y = \dfrac{2}{3} \times 5 - \dfrac{4}{3} \\ \Leftrightarrow & y = \dfrac{10}{3} - \dfrac{4}{3} \\ \Leftrightarrow & y = \dfrac{6}{3} = 2\\ \end{array}\]Or \(y_B = 2\), donc le point \(B\) appartient à la droite \((CD)\).
- équation de la droite \((EF)\)
\(y = \dfrac{y_F-y_E}{x_F - x_E}(x - x_F) + y_F\)
(dans la deuxième partie de la formule, je choisis le point \(F\) car ses coordonnées sont positives, afin d'éviter des erreurs de signe...)
\[\begin{array}{ll} & y = \dfrac{5-(-1)}{6 - 4}(x - 6) + 5 \\ \Leftrightarrow & y = \dfrac{6}{2}(x - 6) + 5 \\ \Leftrightarrow & y = 3(x - 6) + 5 \\ \Leftrightarrow & y = 3x - 18 + 5 \\ \Leftrightarrow & y = 3x - 13 \\ \end{array}\]vérifions que \(B \in (EF)\)
on remplace \(x\) par \(x_B = 5\), puis on calcule :
\(y = 3 \times 5 - 13 = 2 = y_B\)
donc le point \(B\) apprtient à la droite \((EF)\)
Conclusion
le point \(B\) appertient aux droites \((CD)\), \((EF)\) et (évidemment !) \((AB)\) : les droites sont bien concourantes en \(B\).