p 263 n° 62

Ecrire sous forme de quotient :

cela siginifie qu'on veut une seule fraction.

\(A = \dfrac{3x}{2-x}-2\)
\(A = \dfrac{3x}{2-x}-\dfrac{2 \color{red}{\times (2-x)}}{\color{red}{2-x}}\)
\(A = \dfrac{3x}{2-x}-\dfrac{4-2x}{2-x}\)
\(A = \dfrac{3x - \color{red}{(} 4-2x \color{red}{)}}{2-x}\)
\(A = \dfrac{3x - 4+2x}{2-x}\)
\(A = \dfrac{5x - 4}{2-x}\)

\(\dfrac{3x}{2-x} \ge 2 \\ \Leftrightarrow \dfrac{3x}{2-x} \color{red}{-2} \ge 2 \color{red}{-2} \\ \Leftrightarrow \dfrac{3x}{2-x} -2 \ge 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{5x - 4}{2-x} \ge 0 \)

on a utilisé la première question : \(\dfrac{3x}{2-x}-2 = \dfrac{5x - 4}{2-x}\)

Tableau de signe

Il faut imaginer les droites associées à chaque expression affine

• on associe l'expression \((5x - 4)\) à la fonction affine : \(y = 5x -4\); donc
  • \(m = 5\) : la droite "monte" ;le signe de la fonction sera d'abord négatif, puis positif.
  • \(p =-4\) : c'est l'ordonnée à l'origine
  • la droite coupe l'axe des abscisse au point d'abscisse : \(\dfrac{-p}{m} = \dfrac{-(-4)}{5} = \dfrac{4}{5}\)
• on associe l'expression \((2 - x)\) à la fonction affine : \(y = 2 -x\); donc
  • \(m = -1\) : la droite "descends" ;le signe de la fonction sera d'abord positif, puis négatif.
  • \(p =2\) : c'est l'ordonnée à l'origine
  • la droite coupe l'axe des abscisse au point d'abscisse : \(\dfrac{-p}{m} = \dfrac{-2}{-1} = 2\)

\( \begin{array}{|l|lcccccr|} \hline x & -\infty & & \frac{4}{5} & & 2 & & +\infty\\\hline \text{signe de }5x - 4 & & - & 0 & + & | & + & \\\hline \text{signe de }2 - x & & + & | & + & 0 & - & \\\hline \text{signe du quotient } & & - & 0 & + & 0 & - & \\\hline \end{array}\)

donc \(\dfrac{5x-4}{2-x} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[\frac{4}{5} \,; 2\right]\)

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ce type d'exercice suit le même principe que le précédent... mais les calculs semblent moins évidents au début.

premiere inéquation

écriture sous forme d'un quotient

\(\dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{x^2} > 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{1 \color{red}{\times x}}{x \color{red}{\times x}} - \dfrac{3}{x^2} > 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{x^2} - \dfrac{3}{x^2} > 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{x-3}{x^2} > 0 \\ \)

tableau de signes

• on associe l'expression \((x - 3)\) à la fonction affine : \(y = x - 3\); donc
  • \(m = 1\) : la droite "monte" ;le signe de la fonction sera d'abord négatif, puis positif.
  • \(p = -3\) : c'est l'ordonnée à l'origine
  • la droite coupe l'axe des abscisse au point d'abscisse : \(\dfrac{-p}{m} = \dfrac{-(-3)}{1} = 3\)
• un carré est toujours positif, mais ATTENTION on ne peut pas diviser par 0 !!

\( \begin{array}{|l|lcccccr|} \hline x & -\infty & & 0 & & 2 & & +\infty\\\hline \text{signe de }x - 3 & & - & | & - & 0 & + & \\\hline \text{signe de }x^2 & & + & 0 & + & | & + & \\\hline \text{signe du quotient } & & - & |\,| & - & 0 & + & \\\hline \end{array}\)

la double barre signifie que la valeur est INTERDITE.

\(\dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{x^2} > 0 \Leftrightarrow x \in [2 \,; +\infty[\)