Préparation contrôle c07
Lire l'équation réduite d'une droite
A l'aide d'une lecture graphique, déterminer l'équation réduite de la droite \((AB)\) (Les points indiqués sont à coordonnées entière).
- l'ordonnée à l'origine
- le coefficient directeur : \( m = \dfrac{\text{déplacement en }y}{\text{déplacement en }x}\)
Une équation réduite de droite est de la forme \( y = mx + p \)
- L'ordonnée du point \( B \) est l'ordonnée à l'origine, donc \( p = 2 \)
- Pour aller de \( B \) à \( C \), on se déplace de 3 unités en abscisses et de 2 unités vers le bas en ordonnées, donc \( \dfrac{\Delta_y}{\Delta_x} = \dfrac{-2}{3} = m \)
L'équation de la droite est donc \( y = -\dfrac{2}{3} x + 2 \)
Déterminer l'équation réduite d'une droite à l'aide d'un calcul
Soient les points \(A ( -2\,; 10) \) et \(B ( 2020\,; -5) \).
Déterminer l'équation de la droite \( (AB) \).
l'équation réduite d'une droite est de la forme : \(y = mx + p\)
- première méthode
- calculer \( m \) à l'aide de la formule \( m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\)
- calculer \( p \) en résolvant une équation traduiant le fait que les coordonnées de \( A \) doivent vérfier l'équation de la droite \( (AB) \)
- deuxième méthode :
utiliser la formule : \(y = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}(x -x_A) + y_A\)
- méthode 1
\( m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-5 - 10}{2020 - (-2)} = \dfrac{-15 }{2022} = \dfrac{-5 }{674} \)
les coordonnées de \( A \) doivent vérifier : \( y_A = \dfrac{-5 }{674} x_ A + p \).
-
\( \phantom{\Leftrightarrow\,} 10 = \dfrac{-5 }{674} \times (-2) + p \).
- \( \Leftrightarrow 10 = \dfrac{5 }{337} + p \).
- \( \Leftrightarrow 10 \color{red}{-\dfrac{5 }{337}} = \dfrac{5 }{337} \color{red}{-\dfrac{5 }{337}} + p \).
- \( \Leftrightarrow \dfrac{3365 }{337} = p \).
donc \( y = \dfrac{-5 }{674} x + \dfrac{3365 }{337} \)
- méthode 2
- \(y = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}(x -x_A) + y_A\)
\(y = \dfrac{-5 - 10}{2020 - (-2)}(x - (-2)) + 10\) \(y = \dfrac{-15}{2022}(x + 2) + 10\) \(y = \dfrac{-5}{674}x + \dfrac{-5}{674} \times 2 + 10\)
donc \( y = \dfrac{-5 }{674} x + \dfrac{3365 }{337} \)
Désolé, mais parfois les calculs font apparaître des fractions qui ne sont pas toujours simplifiables... En cas d'angoisse, ne pas hésiter à utiliser la calculatrice : elle sait travailler avec (certaines) fractions !
Trouver le signe d'une expression produit
Construire un tableau de signe :
\( \begin{array}{|l|lcr|} \hline \\ x & & \phantom{un peu de place} & \\\hline \text{signe de }(2x + 5) & & & \\\hline \text{signe de }(14 - 3x) & & & \\\hline \text{signe du produit} & & & \\\hline \end{array} \)
pour déterminer le signe de \( 2x + 5 \), on peut travailler à l'aide d'une fonction : \( f(x) = 2x + 5 \) et chercher le signe de cette fonction.
\( f \) est une fonction affine, donc de la forme \( y = mx + p \) : on peut déterminer les valeurs de \( m \) et \( p \) et se rappeler que la représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
Représenter rapidement cette droite afin de déterminer le signe de \( f \) et justifier (par un calcul, ou une formule) que la valeur de \( x \) qui annule la fonction est \( \dfrac{-5}{2} \)
\( \begin{array}{|l|lcccr|}
\hline \\
x &-\infty & -\frac{5}{2}& & \frac{14}{3}& +\infty \\\hline
\text{signe de }(2x + 5) & - & 0 & + & | & + \\\hline
\text{signe de }(14 - 3x) & + & | & + & 0 & - \\\hline
\text{signe du produit} & -& 0 & + &0 & -\\\hline
\end{array}
\)
donc \( (2x+5)(14-3x) \ge 0 \) si \( x \in \left[ -\frac{5}{2}\,; \frac{14}{3}\right] \)
reamarque : donc \( (2x+5)(14-3x) \le 0 \) si \( x \in \left]-\infty \,; -\frac{5}{2}\right] \cup \left[\frac{14}{3}\,; +\infty\right] \)
Utiliser une formule tableur
dans une feuille tableur,
- la cellule A3 contient le nombre 3 ;
- la cellule B3 contient la formule :
=SI(A3<2 ; A3^2 ; 3*A3 + 5)
Quelle va être la valeur affichée dans la cellule B3
?
la fonction SI
du tableur fonctionne de la façon
suivante : SI( test à affectuer ; action à faire si la réponse au test
est "vrai" ; action à faire si la réponse au test est "faux").
ici le test consiste à comparer la valeur de la cellule A3
avec 2
Comme A3
contient 3, la réponse au test A3<2
est "faux",
donc il faut effectuer le calcul 3*A3 + 5
Le résultat affiché dans la cellule B3
sera donc 14.
Résoudre une inéquation à l'aide des fonctions de référence
- Il faut se ramener à inéquation équivalente de la forme : \( x^2 \ge \dots \)
- Tracer la courbe de la fonction carrée et lire les solutions
- \( 4x^2 + 6 \ge 15 \Leftrightarrow x^2 \ge \dfrac{9}{4} \)
- pour \( a \ge 0 \) et \( b > 0 \) : \( \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)
-
\( 4x^2 + 6 \ge 15 \)
- \( 4x^2 + 6 \color{red}{-6}\ge 15 \color{red}{-6}\)
- \( 4x^2 \ge 9\)
- \( \dfrac{4x^2}{\color{red}{4}} \ge \dfrac{9}{\color{red}{4}}\)
- \( x^2 \ge \dfrac{9}{4}\)
![fonction carré et solutions](./images/c07_ineq-carre.png)
donc \( 4x^2 + 6 \ge 15 \Leftrightarrow x^2 \ge \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x \in \left]-\infty\,; -\dfrac{3}{2}\right] \cup \left[ \dfrac{3}{2}\,; +\infty \right[ \)