complément de cours
formule importante : \(\log(a\times b ) = \log(a)+ \log(b)\)
exemples
exemple 1
\(\log\left(10^3 \times 10^6 \right) = \log\left(10^3\right) + \log\left(10^6\right) = 3 + 6 = 9\)
remarque : \(\log\left(10^3 \times 10^6 \right) = \log\left(10^{3 + 6}\right) = \log\left(10^{9}\right) = 9\)
règle : \(a^p \times a^q = a^{p + q}\)
exemple 2
\(\log\left(\dfrac{1}{10^{4}}\right) = \log\left(10^{-4}\right) = - 4\)
règle : \(\dfrac{1}{a^p} = a^{-p}\)
remarque : \(-4 = 0 - 4 = \log(1) - \log\left(10^4\right)\)
donc \(\log\left(\dfrac{1}{10^{4}}\right) =\log(1) - \log\left(10^4\right)\)
on admet que \(\log\left(\dfrac{a}{b}\right) =\log(a) - \log(b)\)
exemple 3
\(\log\left(\left(10^2\right)^3\right) = \log\left(10^{2 \times 3}\right) = \log\left(10^6\right) = 6\)
règle : \(\left(a^p\right)^q = a^{p \times q}\)
On aurait pu aussi écrire : \(\log\left(\left(10^2\right)^3\right) = \log\left(10^2 \times \left(10^2 \times 10^2 \right)\right) = \log\left(10^2 \right) + \log\left(10^2 \times 10^2 \right)\)
formule : \(\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)\)
\(\log\left(10^2 \right) + \log\left(10^2 \times 10^2 \right) = \log\left(10^2 \right) + \log\left(10^2 \right) +\log\left(10^2 \right) = 3 \times \log\left(10^2 \right)\)
donc \(\log\left(\left(10^2\right)^3\right) = 3 \times \log\left(10^2 \right)\)
On admet que pour tout réel \(a\) et \(b\) : \(\log\left(a^b\right) = b \times \log(a)\)
reprise de l'exercice du 27/03/21
On cherchait \(n\) tel que : \(\log(1,05^n) > 0,3\)
la formule ci-dessus permet de dire : \(n \times \log(1,05) > 0,3\)
\(n \times 0,02 >0,3\)
\(\dfrac{n \times 0,02}{{\color{red}{0,02}} }>\dfrac{0,3}{{\color{red}{0,02}} }\)
\(n > 15\)
donc on retrouve le résultat obtenu avec le tableur : il faut 15 ans pour doubler le capital.
p 89 n° 74
Unité de mesure du bruit : le décibel, noté dB. conversation entre 2 personnes : environ 60 dB
pour 15 personnes : plusieurs idées :
- \(60 \times 7,5 = 450\)
- \(\dfrac{60}{2} \times 15 = 450\)