Introduction : p 142 Act 1
branche de A à B : \(p_A(B) = \dfrac{1}{199}\) cela correspond à un billet gagnant parmi les 199 restants.
\(X\) est la variable aléatoire réprésentant le gain algébrique. Pour l'événément \(\lbrace A \cap B \rbrace\) il vaut 146 : on gagne 100 + 50 € mais chaque billet coûte 2 €.
\( p(X = 146) = \dfrac{1}{200} \times \dfrac{1}{199} = \dfrac{1}{39\,800}\)
le tableau qui représente la loi de probabilité de \(X\)
\( \begin{array}{lcccc} \hline X = x_i & -4 & 46 & 96 & 146 \\\hline p(X = x_i) & \dfrac{99}{100} & \dfrac{1}{200} & \dfrac{99}{19\,900} & \dfrac{1}{39\,800} \\ \hline \end{array}\)
Espérance d'une variable aléatoire
En probabilité l'espérance correspond à un calcul de moyenne :
il faudrait faire : \( E(X) = \dfrac{x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + x_3 \times p_3 + x_4 \times p_4} {p_1 + p_2 + p_3 +p_4}\)
mais on sait (cours sur les probas) que : \(p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\)
donc l'espérance se calcule : \(E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + x_3 \times p_3 + x_4 \times p_4\)
donc \(E(X) \approx -3,25\)
cela signifie, qu'en moyenne, en jouant un grand nombre de fois, on perd 3,25 €.
loi binomiale
On découvre une loi de probabilité particulière.
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues : nommées "Succcés" et "Echec".
La répétition à l'identique et de manière indépendante de la même épreuve de Bernoulli est un schéma de Bernoulli.
Dans le cas où on répète \(n\) expériences de Bernoulli, avec une probabilité du "Succès" égale \( p \), on sait que la variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de "Succès" à l'issue des \(n\) expériences, suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).
On la note \(\mathscr B(n ; p)\) et dans ce cas l'espérance de \(X\) est \(E(X) = np\).
Exemple 1 : Pile ou face
Pièce : pile ou face / succès : "Obtenir Pile" / on lance la pièce (équililbrée) 4 fois (à l'identique).
illutration par un arbre
\(X\) est la variable aléatoire qui compte le nombre de "Pile" : \(X\) peut prendre toutes les valeurs entières entre 0 et 4.
Pour calculer la probabilité d'obtenir 3 "Pile", on cherche \(p(X = 3)\)
Exemple 2 : p 151 n° 41
Exercice : Act 2 + p151 n° 40