Frédéric Léon -- MATHS -- E. Brontë

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Préparation c08

version finale du 26/05/21

Cause humanitaire

D'après un sujet de BAC : STG - Antilles-Guyane, 2011

Une association humanitaire recherche une entreprise de forage pour creuser un puits, en plein désert, afin d’atteindre une nappe d’eau annoncée à 9 mètres de profondeur par un spécialiste.

Tarifs de forage

Les tarifs de l’entreprise, convertis en euros, sont les suivants :

On appelle \(n\) le nombre de mètres creusés et \(u_n\) le prix du \(n\)-ième mètre creusé.

Une feuille de calcul est utilisée afin de faire apparaître les différents tarifs.

A B C
1 Profondeur du puits (en mètres) \(n\) Coût du n-ième mètre creusé : \(u_n\) Total en euros
2 0 0 1 000
3 1 100 1 100
4 2 140 1 240
5
6
1. Déterminer si la suite \((u_n)\), est arithmétique, géométrique ou ni l'une ni l'autre.
Aide
  • suite arithmétique : la différence entre deux termes consécutifs est constante.
  • suite géométrique : le quotient entre deux termes consécutifs est constant.
Solution
  • \(u_1 - u_0 = 100 - 0 = 100\) et \(u_2 - u_1 = 140 - 100 = 40\), la suite \((u_n)\) n'est pas arithmétique.
  • \(\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{100}{0} \) : impossible ! la suite \((u_n)\) n'est pas géométrique.

2. Soit \((v_{n})\) la suite arithmétique définie par \(v_0 = 60\) et pour tout \(n : v_{n+1} = v_n + 40\).

Donner l'expression explicite de \(v_n\) ; en déduire \(v_{10}\).

Aide
  • par définition, la suite \((v_n)\) est arithmétique.
  • Utiliser l'expression explicite de la suite pour \(n = 10\).
Solution

Par définition la suite \((v_n)\) est arithmétique de raison 40 et de premier terme \(v_0 = 60\), donc son expression explicite est :

\(v_{n} = v_0 + nr = 60 + 40 n\)

donc \(v_{10} = 60 + 40 \times 10 = 460\)

3. A l'aide d'une formule du cours, calculer la somme \(S\) définie par \(S = v_0 + v_1 + \dots + v_{10}\).

Aide

Si \((u_n)\) est une suite arithmétique, alors \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1) \dfrac{u_0 + u_n}{2}\)

autre formulation : \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_n = \text{nb. de termes } \dfrac{\text{premier terme } + \text{dernier terme}}{2}\)

Solution

\(S = v_0 + v_1 + \dots + v_{10} = 11 \times \dfrac{60 + 460}{2} = 2860\)

3. Déterminer le coût de forage, arrondi à l'entier, pour un puits de 10 mètres.
Aide
  • Identifier ce représente la suite \((v_n)\) dans le contexte de l'exercice.
  • Exploiter la somme \(S\).
Solution

la suite \((v_n)\) représente le coût du forage pour \(n\) mètres, mais en supposant que le coût de 0 mètre est 60 €

On cherche à calculer \(C = 1000 + 100 + 140 + \dots + v_{10} = \underbrace{940 + (60}_{1000 = 940 + v_0} + 100 + 140 + \ldots + v_{10}) = 940 + S = 3\,800\)

Donc 10 mètres de forage coûtent 3 800 €.

Subventions

1. L'état accorde à cette association une subvention de 50 € pour le premier mètre creusé puis augmente cette somme de 35 % par mètre.

Justifier que le forage du second mètre bénéficie d'une aide de 67,5 € et que le troisième mètre d'une aide de 91,125 €

Aide
Augmenter de 35 %, c'est multiplier par ...
Solution

Augmenter de 35 % , c'est multiplier par \(\left( 1 + \dfrac{35}{100}\right) = 1,35\)

Donc pour le second mètre : \(50 \times 1,35 = 67,5\) et pour le troisième mètre : \(67,5 \times 1,35 = 91,125\).

2. Déterminer le montant des subventions, arrondi à l'entier, pour un forage de 10 mètres.

Si besoin, utiliser la formule suivante :

Si \((v_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(v_0\) et de raion \(q\), alors la somme \(S = v_0 + v_1 + v_2 + \dots + v_n = v_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

Aide
  • Le montant des subventions peut être modélisé par une suite de premier terme \(v_0 = 50\) et de raison 1,35
  • Le montant total des subventions est : \(v_0 + v_1 + \ldots + v_9\)
Solution
  • Le montant des subventions peut être modélisé par une suite géométrique de premier terme \(v_0 = 50\) et de raison 1,35.
  • Le montant pour 10ième mètre correspond donc à \(v_9\)
  • Le montant total des subventions est : \(v_0 + v_1 + \dots + v_9 = v_0 \times \dfrac{1 - 1,35^{10}}{1-1,35} \approx 50 \times \dfrac{-19,11}{-0,35} = 2 730\)
  • Le montant total des subventions pour 10 mètres de forage est donc de 2 730 €

3. En déduire le coût de restant à charge à l'association pour un forage de 10 mètres.

Aide
le reste à charge est le coût total du forage diminué des subventions.
Solution
Il reste à charge : \(3\,800 - 2\,730 = 1\,070\) €

Dépenses de fonctionnement

D'après un sujet de BAC : STG - Pondichéry, 2012

Les dépenses annuelles de fonctionnement de deux services d’une entreprise, nommés ici A et B, ont été étudiées sur une assez longue période, ce qui a conduit à la modélisation suivante.

Les dépenses du service A augmentent de \(4\,000\) € chaque année, tandis que celles du service B augmentent de \(15\,\%\) chaque année.

Cette année (qui sera prise dans la suite comme année 1), les deux services ont effectué des dépenses identiques : \(20\,000\) €.

On note \(a_n\) le total des dépenses du service A et \(b_n\) le total des dépenses du service B la n-ième année.

On s’intéresse aussi au cumul de ces dépenses sur plusieurs années. Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille automatisée de calcul, donne les résultats pour les premières années.

A B C D E
1 Numéro de l'année : \(n\) Dépenses du service A : \(a_n\) Cumul des dépenses du service A Dépenses du service B : \(b_n\) Cumul des dépenses du service B
2 1 20 000 20 000 20 000 20 000
3 2 24 000 44 000 23 000 43 000
4 3 28 000 72 000 26 450 69 450
5 4
6 5

Etude des dépenses du service A

1. En admettant que la suite \((a_n)\) est arithmétique, de premier terme \(a_0=16\,000\) et de raison \(4\,000\), calculer \(a_{10}\).
Aide
On connaît l'expression explicite d'une suite arithmétique : \(a_n = \ldots\) (penser à l'image de l'escalier)
Solution
  • L'expression de la suite est : \(a_n = a_0 + nr\), donc ici \(a_n = 16\,000 + 4\,000 \times n\).
  • donc \(a_{10} = 16\,000 + 4\,000 \times 10 = 56\,000\))
2.En utilisant une formule du cours, calculer le montant cumulé des dépenses pour les 10 premières années.
Aide 1
Le montant cumulé des dépenses est : \(a_1 + a_2 + \dots + a_{10}\).
Aide 2
la somme \(S\) des premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule : \(S = \text{nb. termes} \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\)
Solution

\(S = a_1 + a_2 + \dots + a_{10} = 10 \times \dfrac{u_1 + u_{10}}{2} = 10 \times \dfrac{20\,000 + 56\,000}{2} = 380\,000\).

Donc en 10 ans, le service A dépense 380 000 €.

3. Donner les formules à écrire dans les cellules de B3 et C3 afin de remplir les colonnes à l'aide de copie "vers le bas".
Aide
  • colonne B : pour passer d'une ligne à la suivante, il faut toujours ajouter le même nombre (la raison de la suite).
  • colonne C : le cumul correspond à la somme en cours à la quelle s'ajoute le montant des dépenses de l'année.
Solution
  • B3 = B2 + 4000
  • C3 = C2 + B3

Etude des dépenses du service B

1. La suite \((b_n)\) est géométrique de premier terme \(b_1 = 20\,000\). Déterminer sa raison.
Aide :
Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante : ici par quel nombre faut-il multiplier à chaque étape ?
Solution
Chaque année les dépenses augmentent de \(15\,\%\): ce qui correspond à multiplier par \(\left( 1 + \dfrac{15}{100} \right) = 1,15\)
2. Donner les formules à écrire dans les cellules de D3 et E3 afin de remplir les colonnes à l'aide de copie "vers le bas".
Aide
  • colonne D : pour passer d'une ligne à la suivante, il faut toujours multiplier par le même nombre (la raison de la suite).
  • colonne E : le cumul correspond à la somme en cours à la quelle s'ajoute le montant des dépenses de l'année.
Solution
  • D3 = D2 * 1,15
  • E3 = E2 + D3