Préparation c08
version finale du 26/05/21
Cause humanitaire
D'après un sujet de BAC : STG - Antilles-Guyane, 2011
Une association humanitaire recherche une entreprise de forage pour creuser un puits, en plein désert, afin d’atteindre une nappe d’eau annoncée à 9 mètres de profondeur par un spécialiste.
Tarifs de forage
Les tarifs de l’entreprise, convertis en euros, sont les suivants :
- 1 000 € pour la mise en place du chantier
- 100 € pour le premier mètre creusé
- 140 € pour le suivant
- et ainsi de suite en augmentant le prix de chaque nouveau mètre creusé de 40 €
On appelle \(n\) le nombre de mètres creusés et \(u_n\) le prix du \(n\)-ième mètre creusé.
Une feuille de calcul est utilisée afin de faire apparaître les différents tarifs.
A | B | C | |
---|---|---|---|
1 | Profondeur du puits (en mètres) \(n\) | Coût du n-ième mètre creusé : \(u_n\) | Total en euros |
2 | 0 | 0 | 1 000 |
3 | 1 | 100 | 1 100 |
4 | 2 | 140 | 1 240 |
5 | |||
6 |
- suite arithmétique : la différence entre deux termes consécutifs est constante.
- suite géométrique : le quotient entre deux termes consécutifs est constant.
- \(u_1 - u_0 = 100 - 0 = 100\) et \(u_2 - u_1 = 140 - 100 = 40\), la suite \((u_n)\) n'est pas arithmétique.
- \(\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{100}{0} \) : impossible ! la suite \((u_n)\) n'est pas géométrique.
2. Soit \((v_{n})\) la suite arithmétique définie par \(v_0 = 60\) et pour tout \(n : v_{n+1} = v_n + 40\).
Donner l'expression explicite de \(v_n\) ; en déduire \(v_{10}\).
- par définition, la suite \((v_n)\) est arithmétique.
- Utiliser l'expression explicite de la suite pour \(n = 10\).
Par définition la suite \((v_n)\) est arithmétique de raison 40 et de premier terme \(v_0 = 60\), donc son expression explicite est :
\(v_{n} = v_0 + nr = 60 + 40 n\)
donc \(v_{10} = 60 + 40 \times 10 = 460\)
3. A l'aide d'une formule du cours, calculer la somme \(S\) définie par \(S = v_0 + v_1 + \dots + v_{10}\).
Si \((u_n)\) est une suite arithmétique, alors \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1) \dfrac{u_0 + u_n}{2}\)
autre formulation : \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_n = \text{nb. de termes } \dfrac{\text{premier terme } + \text{dernier terme}}{2}\)
\(S = v_0 + v_1 + \dots + v_{10} = 11 \times \dfrac{60 + 460}{2} = 2860\)
- Identifier ce représente la suite \((v_n)\) dans le contexte de l'exercice.
- Exploiter la somme \(S\).
la suite \((v_n)\) représente le coût du forage pour \(n\) mètres, mais en supposant que le coût de 0 mètre est 60 €
On cherche à calculer \(C = 1000 + 100 + 140 + \dots + v_{10} = \underbrace{940 + (60}_{1000 = 940 + v_0} + 100 + 140 + \ldots + v_{10}) = 940 + S = 3\,800\)
Donc 10 mètres de forage coûtent 3 800 €.
Subventions
1. L'état accorde à cette association une subvention de 50 € pour le premier mètre creusé puis augmente cette somme de 35 % par mètre.
Justifier que le forage du second mètre bénéficie d'une aide de 67,5 € et que le troisième mètre d'une aide de 91,125 €
Augmenter de 35 % , c'est multiplier par \(\left( 1 + \dfrac{35}{100}\right) = 1,35\)
Donc pour le second mètre : \(50 \times 1,35 = 67,5\) et pour le troisième mètre : \(67,5 \times 1,35 = 91,125\).
2. Déterminer le montant des subventions, arrondi à l'entier, pour un forage de 10 mètres.
Si besoin, utiliser la formule suivante :
Si \((v_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(v_0\) et de raion \(q\), alors la somme \(S = v_0 + v_1 + v_2 + \dots + v_n = v_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
- Le montant des subventions peut être modélisé par une suite de premier terme \(v_0 = 50\) et de raison 1,35
- Le montant total des subventions est : \(v_0 + v_1 + \ldots + v_9\)
- Le montant des subventions peut être modélisé par une suite géométrique de premier terme \(v_0 = 50\) et de raison 1,35.
- Le montant pour 10ième mètre correspond donc à \(v_9\)
- Le montant total des subventions est : \(v_0 + v_1 + \dots + v_9 = v_0 \times \dfrac{1 - 1,35^{10}}{1-1,35} \approx 50 \times \dfrac{-19,11}{-0,35} = 2 730\)
- Le montant total des subventions pour 10 mètres de forage est donc de 2 730 €
3. En déduire le coût de restant à charge à l'association pour un forage de 10 mètres.
Dépenses de fonctionnement
D'après un sujet de BAC : STG - Pondichéry, 2012
Les dépenses annuelles de fonctionnement de deux services d’une entreprise, nommés ici A et B, ont été étudiées sur une assez longue période, ce qui a conduit à la modélisation suivante.
Les dépenses du service A augmentent de \(4\,000\) € chaque année, tandis que celles du service B augmentent de \(15\,\%\) chaque année.
Cette année (qui sera prise dans la suite comme année 1), les deux services ont effectué des dépenses identiques : \(20\,000\) €.
On note \(a_n\) le total des dépenses du service A et \(b_n\) le total des dépenses du service B la n-ième année.
On s’intéresse aussi au cumul de ces dépenses sur plusieurs années. Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille automatisée de calcul, donne les résultats pour les premières années.
A | B | C | D | E | |
---|---|---|---|---|---|
1 | Numéro de l'année : \(n\) | Dépenses du service A : \(a_n\) | Cumul des dépenses du service A | Dépenses du service B : \(b_n\) | Cumul des dépenses du service B |
2 | 1 | 20 000 | 20 000 | 20 000 | 20 000 |
3 | 2 | 24 000 | 44 000 | 23 000 | 43 000 |
4 | 3 | 28 000 | 72 000 | 26 450 | 69 450 |
5 | 4 | ||||
6 | 5 |
Etude des dépenses du service A
- L'expression de la suite est : \(a_n = a_0 + nr\), donc ici \(a_n = 16\,000 + 4\,000 \times n\).
- donc \(a_{10} = 16\,000 + 4\,000 \times 10 = 56\,000\))
\(S = a_1 + a_2 + \dots + a_{10} = 10 \times \dfrac{u_1 + u_{10}}{2} = 10 \times \dfrac{20\,000 + 56\,000}{2} = 380\,000\).
Donc en 10 ans, le service A dépense 380 000 €.
B3
et C3
afin de remplir les colonnes à l'aide de copie
"vers le bas".
- colonne B : pour passer d'une ligne à la suivante, il faut toujours ajouter le même nombre (la raison de la suite).
- colonne C : le cumul correspond à la somme en cours à la quelle s'ajoute le montant des dépenses de l'année.
B3 = B2 + 4000
C3 = C2 + B3
Etude des dépenses du service B
D3
et E3
afin de remplir les colonnes à l'aide de copie
"vers le bas".
- colonne D : pour passer d'une ligne à la suivante, il faut toujours multiplier par le même nombre (la raison de la suite).
- colonne E : le cumul correspond à la somme en cours à la quelle s'ajoute le montant des dépenses de l'année.
D3 = D2 * 1,15
E3 = E2 + D3