Suite arithmétique

Somme des premiers entiers

Hitoire de Gauss : on cherche la somme \(S = 1 + 2 + 3 + \dots + n\)

puzzle en deux parties égales (escaliers qui forment un rectangle) pour trouver la formule :

\(S = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)

Exemple :

\(S = 1 + 2 = 3 + \dots + 2021 = \dfrac{2021 \times (2021 + 1)}{2} = \dfrac{2021 \times 2022}{2} = 2\,043\,231\)

Somme des premiers termes d'une suite arithmétiqe

• On veut calculer la somme des premiers multiples de 3 : \(S = 3 + 6 + 9 + 12 + \dots + 1113\)

  Remarque : \(S\) peut s'écrire :

  \(S= 3 \times 1 + 3 \times 2 + 3 \times 3 + 3 \times 4 + \dots + 3 \times 371 \)

  \(S= 3 \times (1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 371) \)

  \(S= 3 \times \dfrac{371 \times (371 + 1)}{2} \)

  donc \(S = 207\,018\)

• On veut calculer \(S = 20 + 25 + 30 + \dots + 620\)

  \(S = 20 + (20 + 5) + (20 + 10) + \dots + (20 + 600)\)

  \(S = 20 + 20 + 20 + \dots + 20 + 5 + 10 +\dots + 600\)

  \(S = 20 + 20 + 20 + \dots + 20 + 5 \times 1 + 5 \times 2 +\dots + 5 \times 120\)

  \(S = 20 + 20 + 20 + \dots + 20 + 5 \times ( 1 + 2 +\dots + 120)\)

  \(S = \underbrace{20 + 20 + 20 + \dots + 20}_{\text{121 nombres}} + 5 \times (\underbrace{1 + 2 +\dots + 120}_{\text{120 nombres}})\)

  \(S = 121 \times 20 + 5 \times \dfrac{120 \times (120 + 1)}{2}\)

  donc \(S = 38\,720\)

Exemples

• \(S = 3 + 6 + 9 + 12 + \dots + 1\,113\) est la somme des premiers termes de la suite \((u_n)\) définie par :

  \( u_n = 3 + n \times 3 \), avec \(u_0 = 3\).

  pour \(n = 1\) : \(u_1 = 3 + 1 \times 3 = 6\)

  pour \(n = 2\) : \(u_2 = 3 + 2 \times 3 = 9\)

  ...

  pour \(n = 370\) : \(u_{370} = 3 + 370 \times 3 = 1\,113\)

  Avec la formule (car \((u_n)\) est une suite arithmétique) : \(S = 3 + 6 + 9 + 12 + \dots + 1113 = u_0 + u_1 + u_2 + \dots + u_{370}\)

  \(S = 371 \times \dfrac{u_0 + u_{370}}{2} = 371 \times \dfrac{3 + 1\,113}{2} = 207\,018\)

• \((u_n)\) est une suite arithmétique de premier terme \( \color{red}{u_0 = 20}\) et de raison \(r = 5\)

  donc \(\color{blue}{u_{120} = 20 + 120 \times 5 = 620}\)

  \( S = u_0 + u_1 + u_2 + \dots + u_{120} = 121 \times \dfrac{\color{red}{20} + \color{blue}{620}}{2} = 38\,720 \)

Suite géométrique

Somme des premières puissances

On veut calculer \( S = q^0 + q^1 + q^2 + \dots + q^n = 1 + q + q^2 + \dots + q^n\)

Pour cela on utilise la formule : \( 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}\)

\( 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{\text{nb. de termes}}}{1-q}\)

Exemples :

• \(S = 1 + 2 + 4+ 8 + \dots + 1\,024\)

  On remarque que \(S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{10}\)

  Dans la formule on remplace \(q\) par 2 et \(n\) par 10 : \( S = \dfrac{1 - 2^{10+1}}{1 - 2} = 2\,047\)

• \(S = 1 + 2 + 4+ 8 + \dots + 2^{64} = \dfrac{1 - 2^{64 + 1}}{1 -2} \approx 1,85 \times 10^{19}\)

  C'est le nombre de grains de riz sur l'échiquie.